Номер 258, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) вписана окружность с центром $O$ (рис. 81), $D$ — точка касания окружности со стороной $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AD = 6 \text{ см}$, $ \angle ABO = 15^\circ $.

Рис. 81

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) вписана окружность с центром $O$ (рис. 81), $D$ — точка касания окружности со стороной $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AD = 6$ см, $\angle ABO = 15^\circ$.

Рис. 81

Поскольку центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника, луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$. Зная, что $\angle ABO = 15^\circ$, находим полный угол $B$:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$, сумма его острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, угол $A$ равен:

$\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$, поэтому:

$\angle OAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Радиус $OD$, проведенный в точку касания $D$, перпендикулярен стороне $AC$. Таким образом, треугольник $ADO$ является прямоугольным. Мы можем найти радиус $r$, используя тангенс угла $OAD$:

$\text{tg}(\angle OAD) = \frac{OD}{AD}$

$\text{tg}(30^\circ) = \frac{r}{6}$

$r = 6 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длины катетов $AC$ и $BC$. Пусть $F$ — точка касания окружности со стороной $BC$. Четырехугольник $CDOF$ является квадратом, так как у него три прямых угла ($\angle C$, $\angle D$, $\angle F$) и смежные стороны $OD$ и $OF$ равны как радиусы. Следовательно, $CD = r = 2\sqrt{3}$ см.

Длина катета $AC$ равна сумме отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC = 6 + 2\sqrt{3}$ см.

Длину катета $BC$ найдем из основного треугольника $ABC$ через тангенс угла $B$:

$\text{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC}$

$\text{tg}(30^\circ) = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{BC}$

$BC = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (6 + 2\sqrt{3})\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 6 + 6\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (6 + 2\sqrt{3})(6 + 6\sqrt{3})$

Вынесем общие множители для упрощения вычислений:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2(3 + \sqrt{3}) \cdot 6(1 + \sqrt{3}) = 6(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$

$S_{ABC} = 6(3 \cdot 1 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 6(3 + 4\sqrt{3} + 3) = 6(6 + 4\sqrt{3}) = 36 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $36 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.