Страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, равно $17:8$.

250. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, равно $17:8$.

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковой стороной $b$. Высота, проведённая к основанию, равна $h$.

По условию задачи:

• Основание $a = 30$ см.
• Отношение боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, равно $17:8$, то есть $\frac{b}{h} = \frac{17}{8}$.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

Найдём половину основания:

$\frac{a}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Из соотношения $\frac{b}{h} = \frac{17}{8}$ введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда боковая сторона $b = 17x$, а высота $h = 8x$.

По теореме Пифагора для образовавшегося прямоугольного треугольника:

$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$(17x)^2 = (8x)^2 + 15^2$

$289x^2 = 64x^2 + 225$

Перенесём слагаемые с $x^2$ в одну сторону:

$289x^2 - 64x^2 = 225$

$225x^2 = 225$

$x^2 = 1$

$x = 1$ (так как длина стороны может быть только положительной).

Теперь найдём длину высоты $h$:

$h = 8x = 8 \cdot 1 = 8$ см.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Подставим значения основания и высоты:

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Ответ: $120 \text{ см}^2$.

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 37 см, а сумма катетов — 47 см.

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 37 см, а сумма катетов — 47 см.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$.
Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2}ab$
По теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство, связывающее длины катетов и гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$
Из условия задачи нам известно:
1) Сумма катетов: $a + b = 47$ см.
2) Длина гипотенузы: $c = 37$ см.

Для вычисления площади нам необходимо найти произведение катетов $ab$. Воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Выразим из этой формулы $2ab$:
$2ab = (a+b)^2 - (a^2 + b^2)$
Мы знаем, что $a+b = 47$ и, согласно теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2 = 37^2$. Подставим эти значения в полученное выражение:
$2ab = 47^2 - 37^2$
Для упрощения вычислений применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$2ab = (47 - 37)(47 + 37)$
$2ab = 10 \cdot 84$
$2ab = 840$
Отсюда находим произведение катетов:
$ab = \frac{840}{2} = 420$
Теперь можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210$
Таким образом, площадь треугольника составляет 210 см².

Ответ: 210 см².

252. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 9 см и 4 см.

252. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 9 см и 4 см.

Для нахождения площади ромба, зная длины его диагоналей, используется следующая формула:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

где $S$ – площадь ромба, $d_1$ и $d_2$ – длины его диагоналей.

Согласно условию задачи, у нас есть:

$d_1 = 9$ см
$d_2 = 4$ см

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

$S = \frac{9 \cdot 4}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см²

Ответ: 18 см².

253. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 6 см.

5 cm и 7 cm.

253. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 6 см.

Для нахождения площади квадрата ($S$) по его диагонали ($d$) можно использовать формулу, которая выводится из теоремы Пифагора.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, где стороны $a$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Из предыдущего уравнения выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{d^2}{2}$

Следовательно, формула площади квадрата через диагональ имеет вид:

$S = \frac{d^2}{2}$

Подставим в эту формулу заданное значение диагонали $d = 6$ см:

$S = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Таким образом, площадь квадрата равна 18 см².

Ответ: 18 см².

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей – 42 см.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей — 42 см.

Обозначим сторону ромба как $a$, а его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи нам дано:

• Сторона ромба $a = 15$ см.
• Сумма диагоналей $d_1 + d_2 = 42$ см.

Площадь ромба ($S$) можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Таким образом, они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Согласно теореме Пифагора для одного из этих треугольников:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 15$ см:

$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 15^2$

$\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 225$

Умножим обе части уравнения на 4:

$d_1^2 + d_2^2 = 900$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} d_1 + d_2 = 42 \\ d_1^2 + d_2^2 = 900 \end{cases}$

Чтобы найти произведение $d_1 d_2$, необходимое для вычисления площади, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Применим ее к нашему первому уравнению, возведя обе его части в квадрат:

$(d_1 + d_2)^2 = 42^2$

$d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = 1764$

Мы знаем, что $d_1^2 + d_2^2 = 900$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$900 + 2d_1d_2 = 1764$

Теперь найдем $2d_1d_2$:

$2d_1d_2 = 1764 - 900$

$2d_1d_2 = 864$

Теперь мы можем вычислить площадь ромба. Формула площади $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Мы можем переписать ее как $S = \frac{2d_1d_2}{4}$. Подставим найденное значение $2d_1d_2 = 864$:

$S = \frac{864}{4} = 216$

Площадь ромба равна 216 см².

Ответ: 216 см².

255. Найдите площадь ромба, если его сторона относится к одной из диагоналей как $5:8$, а высота равна 24 см.

255. Найдите площадь ромба, если его сторона относится к одной из диагоналей как 5 : 8, а высота равна 24 см.

Пусть сторона ромба равна $a$, его высота – $h$, а диагонали – $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи, сторона относится к одной из диагоналей как 5:8, а высота равна 24 см.
Запишем это:
$\frac{a}{d_1} = \frac{5}{8}$
$h = 24$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $a = 5x$ и $d_1 = 8x$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей (катеты) и стороной ромба (гипотенуза). По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим известные выражения через $x$:
$(5x)^2 = (\frac{8x}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$25x^2 = (4x)^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$25x^2 = 16x^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Выразим половину второй диагонали:
$(\frac{d_2}{2})^2 = 25x^2 - 16x^2$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 9x^2$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{9x^2} = 3x$
Следовательно, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 3x = 6x$.

Площадь ромба можно найти двумя способами:
1. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.
2. Через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.

Приравняем оба выражения для площади, подставив в них наши переменные:
$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$
$(5x) \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot (8x) \cdot (6x)$
$120x = \frac{1}{2} \cdot 48x^2$
$120x = 24x^2$

Поскольку $x$ не может быть равен нулю (так как он связан с длиной стороны), разделим обе части уравнения на $24x$:
$x = \frac{120}{24}$
$x = 5$

Теперь найдем длину стороны ромба $a$:
$a = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Наконец, вычислим площадь ромба по формуле $S = a \cdot h$:
$S = 25 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 600 \text{ см}^2$.

Ответ: 600 см².

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 1 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 1 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB = BC$. Пусть $M$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM$ — высота треугольника, и $\triangle BMC$ — прямоугольный ($\angle BMC = 90^\circ$).

Пусть $MH$ — перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к боковой стороне $BC$. По условию, точка $H$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 1 см и 16 см. Таким образом, длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:

$BC = 1 + 16 = 17$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BMC$ (с прямым углом $M$) и $\triangle MHC$ (с прямым углом $H$). У этих треугольников общий острый угол $C$. Следовательно, $\triangle BMC \sim \triangle MHC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{MC}{BC} = \frac{HC}{MC} $$

Отсюда получаем важное соотношение: $MC^2 = BC \cdot HC$.

Существует два возможных случая в зависимости от того, какой из отрезков ($BH$ или $HC$) прилегает к вершине $C$.

Случай 1: $HC = 16$ см и $BH = 1$ см.

Используем выведенное соотношение для нахождения половины основания $MC$:

$MC^2 = 17 \cdot 16 = 272$.

$MC = \sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17}$ см.

Теперь найдем высоту $BM$ из прямоугольного треугольника $BMC$ по теореме Пифагора ($BM^2 + MC^2 = BC^2$):

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 17^2 - 272 = 289 - 272 = 17$.

$BM = \sqrt{17}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} AC \cdot BM$. Так как $AC = 2 \cdot MC$, то $S = MC \cdot BM$.

$S = 4\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 4 \cdot 17 = 68$ см$^2$.

Случай 2: $HC = 1$ см и $BH = 16$ см.

Аналогично находим $MC$:

$MC^2 = 17 \cdot 1 = 17$.

$MC = \sqrt{17}$ см.

Найдем высоту $BM$ из прямоугольного треугольника $BMC$:

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 17^2 - 17 = 289 - 17 = 272$.

$BM = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$ см.

Вычислим площадь треугольника $ABC$:

$S = MC \cdot BM = \sqrt{17} \cdot 4\sqrt{17} = 4 \cdot 17 = 68$ см$^2$.

В обоих возможных случаях площадь треугольника оказывается одинаковой.

Ответ: $68$ см$^2$.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а радиус вписанной окружности — 6 см.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а радиус вписанной окружности — 6 см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab$

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ связан с его сторонами следующей формулой:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

По условию задачи нам даны гипотенуза $c = 34$ см и радиус вписанной окружности $r = 6$ см. Подставим эти значения в формулу для радиуса, чтобы найти сумму катетов $a+b$:

$6 = \frac{a+b-34}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$12 = a+b-34$

Отсюда выразим сумму катетов:

$a+b = 12 + 34 = 46$ см.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы:

$a^2 + b^2 = 34^2 = 1156$

Теперь воспользуемся алгебраическим тождеством $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Мы знаем значения $a+b$ и $a^2+b^2$. Подставим их в тождество:

$(46)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$

$2116 = 1156 + 2ab$

Найдем $2ab$:

$2ab = 2116 - 1156 = 960$

Отсюда найдем произведение катетов:

$ab = \frac{960}{2} = 480$

Наконец, вычислим площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 480 = 240$ см$^2$.

Ответ: 240 см$^2$.

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) вписана окружность с центром $O$ (рис. 81), $D$ — точка касания окружности со стороной $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AD = 6 \text{ см}$, $ \angle ABO = 15^\circ $.

Рис. 81

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) вписана окружность с центром $O$ (рис. 81), $D$ — точка касания окружности со стороной $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AD = 6$ см, $\angle ABO = 15^\circ$.

Рис. 81

Поскольку центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника, луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$. Зная, что $\angle ABO = 15^\circ$, находим полный угол $B$:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$, сумма его острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, угол $A$ равен:

$\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$, поэтому:

$\angle OAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Радиус $OD$, проведенный в точку касания $D$, перпендикулярен стороне $AC$. Таким образом, треугольник $ADO$ является прямоугольным. Мы можем найти радиус $r$, используя тангенс угла $OAD$:

$\text{tg}(\angle OAD) = \frac{OD}{AD}$

$\text{tg}(30^\circ) = \frac{r}{6}$

$r = 6 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длины катетов $AC$ и $BC$. Пусть $F$ — точка касания окружности со стороной $BC$. Четырехугольник $CDOF$ является квадратом, так как у него три прямых угла ($\angle C$, $\angle D$, $\angle F$) и смежные стороны $OD$ и $OF$ равны как радиусы. Следовательно, $CD = r = 2\sqrt{3}$ см.

Длина катета $AC$ равна сумме отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC = 6 + 2\sqrt{3}$ см.

Длину катета $BC$ найдем из основного треугольника $ABC$ через тангенс угла $B$:

$\text{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC}$

$\text{tg}(30^\circ) = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{BC}$

$BC = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (6 + 2\sqrt{3})\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 6 + 6\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (6 + 2\sqrt{3})(6 + 6\sqrt{3})$

Вынесем общие множители для упрощения вычислений:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2(3 + \sqrt{3}) \cdot 6(1 + \sqrt{3}) = 6(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$

$S_{ABC} = 6(3 \cdot 1 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 6(3 + 4\sqrt{3} + 3) = 6(6 + 4\sqrt{3}) = 36 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $36 + 24\sqrt{3}$ см$^2$.

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $98 \text{ см}^2$. Точка $M$ делит его сторону $AB$ в отношении $4 : 3$, считая от точки $B$. Найдите площади треугольников $ACM$ и $BCM$.

259. Площадь треугольника ABC равна $98 \text{ см}^2$. Точка M делит его сторону AB в отношении $4:3$, считая от точки B. Найдите площади треугольников ACM и BCM.

Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, которая по условию равна 98 см². Точка $M$ лежит на стороне $AB$. Отрезок $CM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $ACM$ и $BCM$.

У треугольников $ACM$ и $BCM$ общая вершина $C$, а их основания $AM$ и $BM$ лежат на одной прямой $AB$. Следовательно, высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $AB$, является общей для обоих треугольников. Обозначим эту высоту как $h$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Для наших треугольников: $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$ $S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h$

Найдем отношение площадей этих треугольников. Оно будет равно отношению их оснований, так как высота $h$ у них общая: $\frac{S_{BCM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h} = \frac{BM}{AM}$

По условию задачи, точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $4:3$, считая от точки $B$. Это означает, что $BM : AM = 4 : 3$. Соответственно, и отношение площадей будет таким же: $S_{BCM} : S_{ACM} = 4 : 3$.

Сумма площадей треугольников $ACM$ и $BCM$ равна площади исходного треугольника $ABC$: $S_{ACM} + S_{BCM} = S_{ABC} = 98$ см².

Таким образом, общую площадь в 98 см² нужно разделить в отношении $3:4$. Всего получается $3 + 4 = 7$ равных частей. Величина одной части составляет: $98 / 7 = 14$ см².

Площадь треугольника ACM
Площадь $S_{ACM}$ соответствует 3 частям, так как ее основание $AM$ составляет 3 части. $S_{ACM} = 3 \cdot 14 = 42$ см².
Ответ: 42 см².

Площадь треугольника BCM
Площадь $S_{BCM}$ соответствует 4 частям, так как ее основание $BM$ составляет 4 части. $S_{BCM} = 4 \cdot 14 = 56$ см².
Ответ: 56 см².

260. Точка $K$ делит медиану $CM$ треугольника $ABC$ в отношении $2 : 3$, считая от точки $C$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) ACK и BCM;

2) AKM и ABC.

260. Точка K делит медиану $CM$ треугольника $ABC$ в отношении $2 : 3$, считая от точки $C$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $ACK$ и $BCM$;

2) $AKM$ и $ABC$.

Обозначим площадь треугольника $XYZ$ как $S_{XYZ}$.

Поскольку $CM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AB$, она делит треугольник $ABC$ на два треугольника с равной площадью:

$S_{ACM} = S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Это следует из того, что у треугольников $ACM$ и $BCM$ равные основания ($AM = MB$, так как $M$ — середина $AB$) и общая высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$.

Точка $K$ делит медиану $CM$ в отношении $CK : KM = 2 : 3$. Это означает, что всю медиану $CM$ можно разделить на $2+3=5$ равных частей. Тогда:

$CK = \frac{2}{2+3} CM = \frac{2}{5} CM$

$KM = \frac{3}{2+3} CM = \frac{3}{5} CM$

Рассмотрим треугольники $ACK$ и $ACM$. У них общая высота, проведенная из вершины $A$ на прямую $CM$. Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

$\frac{S_{ACK}}{S_{ACM}} = \frac{CK}{CM}$

Подставляя известное отношение $CK$ к $CM$, получаем:

$\frac{S_{ACK}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{2}{5}CM}{CM} = \frac{2}{5}$

Отсюда $S_{ACK} = \frac{2}{5} S_{ACM}$.

Так как $S_{ACM} = S_{BCM}$, мы можем заменить $S_{ACM}$ на $S_{BCM}$:

$S_{ACK} = \frac{2}{5} S_{BCM}$

Следовательно, отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCM$ равно $2:5$.

Ответ: 2:5.

Рассмотрим треугольники $AKM$ и $ACM$. Аналогично первому пункту, у них общая высота, проведенная из вершины $A$ на прямую $CM$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований.

$\frac{S_{AKM}}{S_{ACM}} = \frac{KM}{CM}$

Подставляя известное отношение $KM$ к $CM$, получаем:

$\frac{S_{AKM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{3}{5}CM}{CM} = \frac{3}{5}$

Отсюда $S_{AKM} = \frac{3}{5} S_{ACM}$.

Теперь воспользуемся тем, что $S_{ACM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$:

$S_{AKM} = \frac{3}{5} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{3}{10} S_{ABC}$

Следовательно, отношение площадей треугольников $AKM$ и $ABC$ равно $3:10$.

Ответ: 3:10.

261. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 7$. Найдите отношение сторон $AB$ и $AC$ треугольника.

261. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 7$. Найдите отношение сторон $AB$ и $AC$ треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ угла $A$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Эта биссектриса разбивает исходный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Применим эту формулу для нахождения площадей треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ выражается как:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

Площадь треугольника $\triangle ACD$ выражается как:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, то она делит этот угол на два равных угла, то есть $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе дроби (это $\frac{1}{2}$, длина биссектрисы $AD$ и синус равных углов):

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}$

По условию задачи дано, что площади этих треугольников относятся как $4 : 7$. Это означает:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{4}{7}$

Сопоставляя два полученных равенства, мы приходим к выводу, что отношение сторон $AB$ и $AC$ равно отношению площадей:

$\frac{AB}{AC} = \frac{4}{7}$

Таким образом, отношение сторон $AB$ и $AC$ составляет $4:7$.

Ответ: $4:7$