Номер 255, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Найдите площадь ромба, если его сторона относится к одной из диагоналей как $5:8$, а высота равна 24 см.

255. Найдите площадь ромба, если его сторона относится к одной из диагоналей как 5 : 8, а высота равна 24 см.

Пусть сторона ромба равна $a$, его высота – $h$, а диагонали – $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи, сторона относится к одной из диагоналей как 5:8, а высота равна 24 см.
Запишем это:
$\frac{a}{d_1} = \frac{5}{8}$
$h = 24$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $a = 5x$ и $d_1 = 8x$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей (катеты) и стороной ромба (гипотенуза). По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим известные выражения через $x$:
$(5x)^2 = (\frac{8x}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$25x^2 = (4x)^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$25x^2 = 16x^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Выразим половину второй диагонали:
$(\frac{d_2}{2})^2 = 25x^2 - 16x^2$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 9x^2$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{9x^2} = 3x$
Следовательно, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 3x = 6x$.

Площадь ромба можно найти двумя способами:
1. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.
2. Через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.

Приравняем оба выражения для площади, подставив в них наши переменные:
$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$
$(5x) \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot (8x) \cdot (6x)$
$120x = \frac{1}{2} \cdot 48x^2$
$120x = 24x^2$

Поскольку $x$ не может быть равен нулю (так как он связан с длиной стороны), разделим обе части уравнения на $24x$:
$x = \frac{120}{24}$
$x = 5$

Теперь найдем длину стороны ромба $a$:
$a = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Наконец, вычислим площадь ромба по формуле $S = a \cdot h$:
$S = 25 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 600 \text{ см}^2$.

Ответ: 600 см².