Номер 248, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а гипотенуза — 26 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

248. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а гипотенуза — 26 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Высота, проведённая к гипотенузе, пусть будет $h_c$.

Из условия задачи имеем: один катет $a = 10$ см и гипотенузу $c = 26$ см.

1. Найдём длину второго катета.
Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известные значения: $10^2 + b^2 = 26^2$
$100 + b^2 = 676$
$b^2 = 676 - 100$
$b^2 = 576$
$b = \sqrt{576}$
$b = 24$ см.
Таким образом, второй катет равен 24 см.

2. Найдём высоту, проведённую к гипотенузе.
Площадь прямоугольного треугольника ($S$) можно вычислить двумя способами:

• Через катеты: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$
• Через гипотенузу и высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Приравняв эти два выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$
Умножим обе части уравнения на 2: $a \cdot b = c \cdot h_c$
Выразим из этого уравнения высоту $h_c$: $h_c = \frac{a \cdot b}{c}$
Теперь подставим числовые значения сторон: $h_c = \frac{10 \cdot 24}{26} = \frac{240}{26}$
Сократим дробь на 2: $h_c = \frac{120}{13}$ см.
Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $120 \div 13 = 9$ с остатком $3$, поэтому: $h_c = 9 \frac{3}{13}$ см.

Ответ: $\frac{120}{13}$ см.