Номер 254, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей – 42 см.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей — 42 см.

Обозначим сторону ромба как $a$, а его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи нам дано:

• Сторона ромба $a = 15$ см.
• Сумма диагоналей $d_1 + d_2 = 42$ см.

Площадь ромба ($S$) можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Таким образом, они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Согласно теореме Пифагора для одного из этих треугольников:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 15$ см:

$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 15^2$

$\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 225$

Умножим обе части уравнения на 4:

$d_1^2 + d_2^2 = 900$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} d_1 + d_2 = 42 \\ d_1^2 + d_2^2 = 900 \end{cases}$

Чтобы найти произведение $d_1 d_2$, необходимое для вычисления площади, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Применим ее к нашему первому уравнению, возведя обе его части в квадрат:

$(d_1 + d_2)^2 = 42^2$

$d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = 1764$

Мы знаем, что $d_1^2 + d_2^2 = 900$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$900 + 2d_1d_2 = 1764$

Теперь найдем $2d_1d_2$:

$2d_1d_2 = 1764 - 900$

$2d_1d_2 = 864$

Теперь мы можем вычислить площадь ромба. Формула площади $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Мы можем переписать ее как $S = \frac{2d_1d_2}{4}$. Подставим найденное значение $2d_1d_2 = 864$:

$S = \frac{864}{4} = 216$

Площадь ромба равна 216 см².

Ответ: 216 см².