Номер 250, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, равно $17:8$.

250. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, равно $17:8$.

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковой стороной $b$. Высота, проведённая к основанию, равна $h$.

По условию задачи:

• Основание $a = 30$ см.
• Отношение боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, равно $17:8$, то есть $\frac{b}{h} = \frac{17}{8}$.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

Найдём половину основания:

$\frac{a}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Из соотношения $\frac{b}{h} = \frac{17}{8}$ введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда боковая сторона $b = 17x$, а высота $h = 8x$.

По теореме Пифагора для образовавшегося прямоугольного треугольника:

$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$(17x)^2 = (8x)^2 + 15^2$

$289x^2 = 64x^2 + 225$

Перенесём слагаемые с $x^2$ в одну сторону:

$289x^2 - 64x^2 = 225$

$225x^2 = 225$

$x^2 = 1$

$x = 1$ (так как длина стороны может быть только положительной).

Теперь найдём длину высоты $h$:

$h = 8x = 8 \cdot 1 = 8$ см.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Подставим значения основания и высоты:

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Ответ: $120 \text{ см}^2$.