Номер 245, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Сторона квадрата ABCD равна 9 см. На его сторонах AD и CD отмечены точки K и E так, что $AK = 4$ см, $CE = 2$ см (рис. 79). Найдите площадь треугольника BEK.

Рис. 79

245. Сторона квадрата ABCD равна 9 см. На его сторонах AD и CD отмечены точки K и E так, что $AK = 4 \text{ см}$, $CE = 2 \text{ см}$ (рис. 79). Найдите площадь треугольника BEK.

Рис. 79

Для того чтобы найти площадь треугольника BEK, мы можем вычислить площадь квадрата ABCD и вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников: ABK, BCE и KDE.

1. Вычисление площади квадрата ABCD.

Сторона квадрата по условию равна 9 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата.

$S_{ABCD} = 9^2 = 81$ см².

2. Вычисление площадей треугольников, окружающих треугольник BEK.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

а) Площадь треугольника ABK.

Треугольник ABK является прямоугольным, так как угол A — прямой. Его катеты — это стороны квадрата AB и отрезок AK.

$AB = 9$ см, $AK = 4$ см (по условию).

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18$ см².

б) Площадь треугольника BCE.

Треугольник BCE является прямоугольным, так как угол C — прямой. Его катеты — это сторона квадрата BC и отрезок CE.

$BC = 9$ см, $CE = 2$ см (по условию).

$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$ см².

в) Площадь треугольника KDE.

Треугольник KDE является прямоугольным, так как угол D — прямой. Его катеты — это отрезки KD и DE. Найдем их длины:

$KD = AD - AK = 9 - 4 = 5$ см.

$DE = CD - CE = 9 - 2 = 7$ см.

Теперь вычислим площадь этого треугольника:

$S_{KDE} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \frac{35}{2} = 17,5$ см².

3. Вычисление площади треугольника BEK.

Теперь вычтем из площади квадрата площади трех найденных треугольников:

$S_{BEK} = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{BCE} - S_{KDE}$

$S_{BEK} = 81 - 18 - 9 - 17,5 = 81 - (18 + 9 + 17,5) = 81 - 44,5 = 36,5$ см².

Ответ: 36,5 см².