Номер 238, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см. Найдите площадь ромба.

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ к стороне $AB$ проведен перпендикуляр $OH$. По условию, точка $H$ делит сторону $AB$ на отрезки $AH = 4$ см и $HB = 16$ см.

1. Найдем длину стороны ромба. Все стороны ромба равны, поэтому длина стороны $a$ равна:

$a = AB = AH + HB = 4 + 16 = 20$ см.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AOB$ является прямоугольным треугольником, где $AO$ и $BO$ — катеты, а сторона ромба $AB$ — гипотенуза.

3. Отрезок $OH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в треугольнике $AOB$. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае $AH$ и $HB$ являются проекциями катетов $AO$ и $BO$ на гипотенузу $AB$.

Значит, $OH^2 = AH \cdot HB$.

$OH^2 = 4 \cdot 16 = 64$ см$^2$.

$OH = \sqrt{64} = 8$ см.

4. Площадь ромба равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников, на которые его делят диагонали ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$). Найдем площадь одного из них — треугольника $AOB$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 8 = 80$ см$^2$.

5. Теперь найдем площадь всего ромба:

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOB} = 4 \cdot 80 = 320$ см$^2$.

Ответ: 320 см$^2$.