Страница 64 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Площадь параллелограмма равна $40 \text{ см}^2$, а его высоты — $8 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$. Найдите стороны параллелограмма.

233. Площадь параллелограмма равна $40 \text{ см}^2$, а его высоты — 8 см и 10 см. Найдите стороны параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

У параллелограмма две разные высоты, которые соответствуют двум разным сторонам. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к ним, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Дано:
Площадь $S = 40$ см².
Высоты: $h_a = 8$ см и $h_b = 10$ см.

Используя формулу площади, мы можем найти каждую из сторон.

1. Найдем сторону $a$, к которой проведена высота $h_a = 8$ см:
$S = a \cdot h_a$
$40 = a \cdot 8$
$a = \frac{40}{8}$
$a = 5$ см.

2. Найдем сторону $b$, к которой проведена высота $h_b = 10$ см:
$S = b \cdot h_b$
$40 = b \cdot 10$
$b = \frac{40}{10}$
$b = 4$ см.

Стороны параллелограмма равны 5 см и 4 см.

Ответ: 4 см и 5 см.

234. Высоты параллелограмма равны 4 см и 16 см, а одна из его сторон — 8 см. Найдите вторую сторону параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

234. Высоты параллелограмма равны 4 см и 16 см, а одна из его сторон — 8 см. Найдите вторую сторону параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно. Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Для одного и того же параллелограмма справедливо равенство:

$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Также необходимо учитывать важное геометрическое свойство: любая высота параллелограмма не может быть больше смежной стороны. Это следует из того, что высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где смежная сторона выступает в роли гипотенузы, а гипотенуза всегда длиннее катета. Таким образом, должны выполняться условия $h_a \le b$ и $h_b \le a$.

По условию задачи даны высоты 4 см и 16 см, и одна из сторон — 8 см. Рассмотрим два возможных случая.

Найдите вторую сторону параллелограмма.

Случай 1: Данная сторона $a = 8$ см, и к ней проведена высота $h_a = 4$ см. Тогда вторая высота $h_b = 16$ см. Найдем вторую сторону $b$ из равенства площадей:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$8 \cdot 4 = b \cdot 16$

$32 = 16b$

$b = \frac{32}{16} = 2$ см.

Проверим, может ли существовать такой параллелограмм. Условие $h_b \le a$ должно выполняться. В нашем случае получаем $16 \le 8$, что неверно. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Данная сторона $a = 8$ см, и к ней проведена высота $h_a = 16$ см. Тогда вторая высота $h_b = 4$ см. Найдем вторую сторону $b$ из равенства площадей:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$8 \cdot 16 = b \cdot 4$

$128 = 4b$

$b = \frac{128}{4} = 32$ см.

Проверим, может ли существовать такой параллелограмм. Условие $h_b \le a$ дает $4 \le 8$ (верно). Условие $h_a \le b$ дает $16 \le 32$ (верно). Так как оба геометрических ограничения выполняются, этот вариант является решением.

Ответ: 32 см.

Сколько решений имеет задача?

Как показано в ходе решения, из двух теоретически возможных случаев только один (Случай 2) удовлетворяет свойствам параллелограмма. Первый случай приводит к геометрическому противоречию (высота не может быть длиннее смежной стороны), поэтому он отбрасывается. Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: одно решение.

235. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

235. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, где $a$ — меньшая сторона ($a < b$). Диагонали параллелограмма равны $d_1 = 16$ см и $d_2 = 20$ см.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Это свойство можно записать формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения длин диагоналей:

$16^2 + 20^2 = 2(a^2 + b^2)$

$256 + 400 = 2(a^2 + b^2)$

$656 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 328$

По условию задачи, одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне $a$. Обозначим эту диагональ как $d_p$. Эта диагональ вместе со сторонами $a$ и $b$ образует прямоугольный треугольник. Поскольку $b$ — большая сторона ($b > a$), она является гипотенузой этого треугольника, а сторона $a$ и диагональ $d_p$ — его катетами. По теореме Пифагора:

$b^2 = a^2 + d_p^2$

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $a^2 + b^2 = 328$
2. $b^2 = a^2 + d_p^2$

Подставим второе уравнение в первое:

$a^2 + (a^2 + d_p^2) = 328$

$2a^2 + d_p^2 = 328$

$2a^2 = 328 - d_p^2$

Теперь нужно определить, какая из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне. Проверим оба варианта:

1. Если $d_p = 20$ см:

$2a^2 = 328 - 20^2 = 328 - 400 = -72$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат стороны не может быть отрицательным.

2. Если $d_p = 16$ см:

$2a^2 = 328 - 16^2 = 328 - 256 = 72$

$a^2 = 36$

$a = 6$ см

Этот вариант возможен. Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна 6 см, и ей перпендикулярна диагональ длиной 16 см.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. Если в качестве основания взять меньшую сторону $a$, то высота, проведенная к этому основанию, будет равна длине перпендикулярной ей диагонали $d_p$.

Основание = $a = 6$ см.

Высота = $h_a = d_p = 16$ см.

Площадь параллелограмма $S$:

$S = a \cdot h_a = 6 \cdot 16 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.

236. Стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см, а его острый угол равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

236. Стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см, а его острый угол равен $30^{\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.

Для нахождения площади параллелограмма можно использовать формулу, включающую две его смежные стороны и синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

В данном случае нам известны следующие значения:

• Сторона $a = 8$ см
• Сторона $b = 12$ см
• Острый угол $\alpha = 30^{\circ}$

Синус угла 30° является табличным значением:

$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все известные значения в формулу площади:

$S = 8 \cdot 12 \cdot \sin(30^{\circ})$

$S = 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:

$S = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48$

Таким образом, площадь параллелограмма составляет 48 см².

Ответ: 48 см².

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 6 см и 4 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь ромба.

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 6 см и 4 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб ABCD, где A, B, C, D — его вершины. Пусть угол при вершине A — острый, а угол при вершине B — тупой. Проведём высоту BH из вершины тупого угла B на сторону AD. Точка H является основанием высоты.

Согласно условию задачи, высота BH делит сторону AD на два отрезка. Отсчёт длин отрезков ведётся от вершины острого угла A. Следовательно, отрезок, прилегающий к вершине A, равен 6 см, а второй отрезок равен 4 см. Таким образом, мы имеем $AH = 6$ см и $HD = 4$ см.

Сторона ромба, обозначим её $a$, равна сумме длин этих отрезков, так как точка H лежит на стороне AD:

$a = AD = AH + HD = 6 + 4 = 10$ см.

Поскольку все стороны ромба равны, то $AB = BC = CD = DA = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике гипотенузой является сторона ромба AB, а катетами — высота BH и отрезок AH. Применим теорему Пифагора для нахождения высоты BH (обозначим её как $h$):

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 6^2 + h^2$

$100 = 36 + h^2$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

$S = a \cdot h$

Подставим найденные значения стороны $a$ и высоты $h$:

$S = 10 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 80 \text{ см}^2$.

Ответ: 80 см².

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см. Найдите площадь ромба.

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ к стороне $AB$ проведен перпендикуляр $OH$. По условию, точка $H$ делит сторону $AB$ на отрезки $AH = 4$ см и $HB = 16$ см.

1. Найдем длину стороны ромба. Все стороны ромба равны, поэтому длина стороны $a$ равна:

$a = AB = AH + HB = 4 + 16 = 20$ см.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AOB$ является прямоугольным треугольником, где $AO$ и $BO$ — катеты, а сторона ромба $AB$ — гипотенуза.

3. Отрезок $OH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в треугольнике $AOB$. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае $AH$ и $HB$ являются проекциями катетов $AO$ и $BO$ на гипотенузу $AB$.

Значит, $OH^2 = AH \cdot HB$.

$OH^2 = 4 \cdot 16 = 64$ см$^2$.

$OH = \sqrt{64} = 8$ см.

4. Площадь ромба равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников, на которые его делят диагонали ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$). Найдем площадь одного из них — треугольника $AOB$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 8 = 80$ см$^2$.

5. Теперь найдем площадь всего ромба:

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOB} = 4 \cdot 80 = 320$ см$^2$.

Ответ: 320 см$^2$.

239. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к ней, — 5,5 см. Найдите площадь треугольника.

239. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к ней, — 5,5 см. Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – это длина стороны треугольника, а $h$ – длина высоты, проведенной к этой стороне.

Согласно условию задачи, имеем:
Сторона $a = 12$ см.
Высота $h = 5,5$ см.

Подставим данные значения в формулу для нахождения площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 5,5 \text{ см}$

Выполним вычисление:
$S = 6 \text{ см} \cdot 5,5 \text{ см} = 33 \text{ см}^2$

Ответ: 33 см².

240. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 8 см и 12 см.

240. Найдите площадь прямоугольного треугольника, кате-ты которого равны 8 см и 12 см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле, которая гласит, что она равна половине произведения его катетов ($a$ и $b$):
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Согласно условию задачи, катеты треугольника равны 8 см и 12 см. Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 4 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет 48 квадратных сантиметров.

Ответ: 48 $см^2$.

241. Площадь треугольника равна 98 $см^2$, а одна из его высот – 14 см. Найдите сторону треугольника, к которой проведена эта высота.

241. Площадь треугольника равна $98 \text{ см}^2$, а одна из его высот — 14 см. Найдите сторону треугольника, к которой проведена эта высота.

Площадь треугольника (S) вычисляется по формуле, связывающей сторону треугольника и проведенную к ней высоту:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$,где $a$ – это сторона треугольника (основание), а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне.

В условии задачи даны:

• Площадь треугольника $S = 98$ см²
• Одна из высот $h_a = 14$ см

Нужно найти длину стороны $a$, к которой проведена эта высота.

Чтобы найти сторону $a$, выразим ее из формулы площади:$2S = a \cdot h_a$$a = \frac{2S}{h_a}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу:$a = \frac{2 \cdot 98}{14}$

Выполним вычисления:$a = \frac{196}{14} = 14$ см.

Следовательно, длина стороны треугольника, к которой проведена высота 14 см, составляет 14 см.

Ответ: 14 см.

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 78, равновелики?

Рис. 78

а) $S_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

б) $S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

в) $S_в = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$

г) $S_г = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$

д) $S_д = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

е) $S_е = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

ж) $S_ж = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

Равновелики треугольники: а, б, в, д, ж.

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 78, равновелики?

Рис. 78

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие равные площади. Чтобы определить, какие из представленных треугольников равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 единицу.

Площадь треугольника, у которого одна из сторон лежит на линии сетки, можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

а

Основание этого треугольника лежит на горизонтальной линии сетки, и его длина $a$ составляет 3 единицы. Высота $h$, проведенная из верхней вершины перпендикулярно основанию, равна 3 единицам. Площадь треугольника "а" равна: $S_а = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

б

Основание треугольника "б" также горизонтально, и его длина $a$ равна 3 единицам. Высота $h$, опущенная на прямую, содержащую основание, равна 3 единицам. Площадь треугольника "б" равна: $S_б = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

в

Горизонтальное основание треугольника "в" имеет длину $a=6$ единиц, а его высота $h$ равна 2 единицам. Площадь треугольника "в" равна: $S_в = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ кв. ед.

г

Горизонтальное основание треугольника "г" имеет длину $a=4$ единицы, а его высота $h$ равна 4 единицам. Площадь треугольника "г" равна: $S_г = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ кв. ед.

д

У треугольника "д" есть горизонтальная сторона, которую можно принять за основание. Её длина $a$ равна 5 единицам. Высота $h$, проведенная к этому основанию из нижней вершины, равна 3 единицам. Площадь треугольника "д" равна: $S_д = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7,5$ кв. ед.

е

Треугольник "е" является прямоугольным. Его катеты, расположенные вдоль линий сетки, равны 3 и 3 единицам. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь треугольника "е" равна: $S_е = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

ж

У треугольника "ж" нет сторон, параллельных осям сетки. Для нахождения его площади удобно воспользоваться методом координат. Поместим одну из вершин треугольника в начало координат, например, левую нижнюю. Тогда координаты вершин будут: A(0, 0), B(2, 3) и C(6, 2). Площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$. Подставим координаты: $S_ж = \frac{1}{2} |(0(3 - 2) + 2(2 - 0) + 6(0 - 3))| = \frac{1}{2} |(0 + 4 - 18)| = \frac{1}{2} |-14| = 7$ кв. ед.

Сравнив вычисленные площади всех треугольников, мы видим, что треугольники "а", "б" и "е" имеют одинаковую площадь, равную 4,5 кв. ед. Остальные треугольники имеют другие значения площадей: $S_в=6$ кв. ед., $S_г=8$ кв. ед., $S_д=7,5$ кв. ед., $S_ж=7$ кв. ед.

Следовательно, треугольники "а", "б" и "е" являются равновеликими.

Ответ: Равновеликими являются треугольники а, б, е.

243. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 17 см, а высота, проведённая к основанию, — 15 см.

243. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 17 см, а высота, проведённая к основанию, — 15 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна $b$, высота, проведенная к основанию, равна $h$, а основание равно $a$. По условию задачи, $b = 17$ см и $h = 15$ см.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Эта высота также является медианой, поэтому она делит основание пополам.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его гипотенузой является боковая сторона треугольника ($b = 17$ см), одним катетом — высота ($h = 15$ см), а вторым катетом — половина основания ($\frac{a}{2}$).

По теореме Пифагора найдем половину основания: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$
$(\frac{a}{2})^2 = b^2 - h^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 17^2 - 15^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 289 - 225$
$(\frac{a}{2})^2 = 64$
$\frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем длину всего основания $a$: $a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Подставим известные значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

Ответ: 120 см$^2$.

244. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 9 см и $3\sqrt{2}$ см, а угол между ними равен:

1) 45°;

2) 150°.

244. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 9 см и $3\sqrt{2}$ см, а угол между ними равен:

1) 45°

2) 150°

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – длины двух сторон, а $\gamma$ – угол между ними.

По условию, нам даны стороны $a = 9$ см и $b = 3\sqrt{2}$ см.

1) Угол между сторонами равен $45^\circ$.

Синус $45^\circ$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 27\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{27 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{4} = \frac{27 \cdot 2}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13,5$ см$^2$.

Ответ: 13,5 см$^2$.

2) Угол между сторонами равен $150^\circ$.

Синус $150^\circ$ равен $\sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 27\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

245. Сторона квадрата ABCD равна 9 см. На его сторонах AD и CD отмечены точки K и E так, что $AK = 4$ см, $CE = 2$ см (рис. 79). Найдите площадь треугольника BEK.

Рис. 79

245. Сторона квадрата ABCD равна 9 см. На его сторонах AD и CD отмечены точки K и E так, что $AK = 4 \text{ см}$, $CE = 2 \text{ см}$ (рис. 79). Найдите площадь треугольника BEK.

Рис. 79

Для того чтобы найти площадь треугольника BEK, мы можем вычислить площадь квадрата ABCD и вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников: ABK, BCE и KDE.

1. Вычисление площади квадрата ABCD.

Сторона квадрата по условию равна 9 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата.

$S_{ABCD} = 9^2 = 81$ см².

2. Вычисление площадей треугольников, окружающих треугольник BEK.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

а) Площадь треугольника ABK.

Треугольник ABK является прямоугольным, так как угол A — прямой. Его катеты — это стороны квадрата AB и отрезок AK.

$AB = 9$ см, $AK = 4$ см (по условию).

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18$ см².

б) Площадь треугольника BCE.

Треугольник BCE является прямоугольным, так как угол C — прямой. Его катеты — это сторона квадрата BC и отрезок CE.

$BC = 9$ см, $CE = 2$ см (по условию).

$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$ см².

в) Площадь треугольника KDE.

Треугольник KDE является прямоугольным, так как угол D — прямой. Его катеты — это отрезки KD и DE. Найдем их длины:

$KD = AD - AK = 9 - 4 = 5$ см.

$DE = CD - CE = 9 - 2 = 7$ см.

Теперь вычислим площадь этого треугольника:

$S_{KDE} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \frac{35}{2} = 17,5$ см².

3. Вычисление площади треугольника BEK.

Теперь вычтем из площади квадрата площади трех найденных треугольников:

$S_{BEK} = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{BCE} - S_{KDE}$

$S_{BEK} = 81 - 18 - 9 - 17,5 = 81 - (18 + 9 + 17,5) = 81 - 44,5 = 36,5$ см².

Ответ: 36,5 см².