Страница 69 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Для четырёхугольника $DEFS$ запишите:

1) вершины, соседние с вершиной $E$;

2) вершину, противолежащую вершине $F$;

3) стороны, соседние со стороной $EF$;

4) сторону, противолежащую стороне $DS$;

5) диагонали четырёхугольника.

1. Для четырёхугольника $DEFS$ запишите:

1) вершины, соседние с вершиной $E$;

2) вершину, противолежащую вершине $F$;

3) стороны, соседние со стороной $EF$;

4) сторону, противолежащую стороне $DS$;

5) диагонали четырёхугольника.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть четырёхугольник $DEFS$. Вершины в названии четырёхугольника обычно перечисляются последовательно по контуру. Таким образом, стороны четырёхугольника - это $DE$, $EF$, $FS$ и $SD$.

1) вершины, соседние с вершиной E;
Соседние (или смежные) вершины — это две вершины, которые являются концами одной стороны многоугольника. Вершина $E$ является концом сторон $DE$ и $EF$. Следовательно, вершины, соседние с вершиной $E$, — это вершины $D$ и $F$.
Ответ: $D$ и $F$.

2) вершину, противолежащую вершине F;
Противолежащая (или противоположная) вершина — это вершина, которая не является соседней для данной. Соседними для вершины $F$ являются вершины $E$ и $S$. Единственная вершина, которая не является соседней для $F$, — это $D$.
Ответ: $D$.

3) стороны, соседние со стороной EF;
Соседние (или смежные) стороны — это стороны, имеющие общую вершину. Сторона $EF$ имеет концы в вершинах $E$ и $F$. Сторона, имеющая общую вершину $E$, — это $DE$. Сторона, имеющая общую вершину $F$, — это $FS$. Таким образом, стороны, соседние со стороной $EF$, — это $DE$ и $FS$.
Ответ: $DE$ и $FS$.

4) сторону, противолежащую стороне DS;
Противолежащие (или противоположные) стороны — это стороны, не имеющие общих вершин. Сторона $DS$ соединяет вершины $D$ и $S$. Сторона, которая не имеет с ней общих вершин, соединяет две оставшиеся вершины $E$ и $F$. Это сторона $EF$.
Ответ: $EF$.

5) диагонали четырёхугольника.
Диагональ четырёхугольника — это отрезок, соединяющий две противолежащие вершины. В четырёхугольнике $DEFS$ есть две пары противолежащих вершин: ($D$, $F$) и ($E$, $S$). Следовательно, диагоналями являются отрезки, соединяющие эти пары вершин.
Ответ: $DF$ и $ES$.

2. Чему равен четвёртый угол четырёхугольника, если три его угла соответственно равны $109^\circ$, $117^\circ$ и $127^\circ$?

2. Чему равен четвёртый угол четырёхугольника, если три его угла соответственно равны $109^\circ$, $117^\circ$ и $127^\circ$?

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника всегда равна $360^{\circ}$. Это следует из того, что любой четырёхугольник можно разделить диагональю на два треугольника, а сумма углов в каждом треугольнике составляет $180^{\circ}$.

В задаче даны три угла четырёхугольника: $109^{\circ}$, $117^{\circ}$ и $127^{\circ}$. Обозначим неизвестный четвёртый угол как $x$.

Чтобы найти величину четвёртого угла, необходимо из общей суммы углов четырёхугольника ($360^{\circ}$) вычесть сумму трёх известных углов.

Сначала найдём сумму известных углов:
$109^{\circ} + 117^{\circ} + 127^{\circ} = 226^{\circ} + 127^{\circ} = 353^{\circ}$

Теперь запишем уравнение для нахождения неизвестного угла $x$:
$109^{\circ} + 117^{\circ} + 127^{\circ} + x = 360^{\circ}$
$353^{\circ} + x = 360^{\circ}$

Выразим $x$:
$x = 360^{\circ} - 353^{\circ}$
$x = 7^{\circ}$

Следовательно, четвёртый угол четырёхугольника равен $7^{\circ}$.

Ответ: $7^{\circ}$

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $\angle B$ равен $146^\circ$, а угол $\angle C$ на $32^\circ$ больше угла $\angle A$ и в 4 раза меньше угла $\angle D$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $B$ равен $146^{\circ}$, а угол $C$ на $32^{\circ}$ больше угла $A$ и в 4 раза меньше угла $D$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Следовательно, для четырёхугольника $ABCD$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Используем данные из условия задачи:

• $\angle B = 146^\circ$
• Угол $C$ на $32^\circ$ больше угла $A$, то есть $\angle C = \angle A + 32^\circ$.
• Угол $C$ в 4 раза меньше угла $D$, что означает $\angle D = 4 \cdot \angle C$.

Для решения задачи введём переменную. Пусть $\angle A = x$. Тогда мы можем выразить остальные неизвестные углы через $x$:

• $\angle C = x + 32^\circ$
• $\angle D = 4 \cdot \angle C = 4(x + 32^\circ)$

Теперь подставим все известные и выраженные значения в формулу суммы углов четырёхугольника и составим уравнение:

$x + 146^\circ + (x + 32^\circ) + 4(x + 32^\circ) = 360^\circ$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$x + 146 + x + 32 + 4x + 128 = 360$

Приведём подобные слагаемые:

$(x + x + 4x) + (146 + 32 + 128) = 360$

$6x + 306 = 360$

Перенесём 306 в правую часть уравнения:

$6x = 360 - 306$

$6x = 54$

Найдём $x$:

$x = \frac{54}{6}$

$x = 9$

Таким образом, мы нашли величину угла $A$: $\angle A = 9^\circ$.

Теперь вычислим величины остальных неизвестных углов:

$\angle C = x + 32^\circ = 9^\circ + 32^\circ = 41^\circ$

$\angle D = 4 \cdot \angle C = 4 \cdot 41^\circ = 164^\circ$

Выполним проверку, подставив все найденные значения в формулу суммы углов:

$9^\circ + 146^\circ + 41^\circ + 164^\circ = 155^\circ + 205^\circ = 360^\circ$

Сумма углов равна $360^\circ$, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $\angle A = 9^\circ$, $\angle C = 41^\circ$, $\angle D = 164^\circ$.

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) $3, 4, 5 \text{ и } 8$;

2) $2, 4, 5 \text{ и } 13$.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) 3, 4, 5 и 8;

2) 2, 4, 5 и 13.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Для решения задачи введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда углы четырёхугольника можно выразить через этот коэффициент и заданные числа.

1)

Пусть углы четырёхугольника равны $3x$, $4x$, $5x$ и $8x$. Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $360^\circ$:

$3x + 4x + 5x + 8x = 360^\circ$

$20x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{20}$

$x = 18^\circ$

Теперь найдём величину каждого угла:

Первый угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

Второй угол: $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$

Третий угол: $5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$

Четвёртый угол: $8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$

Четырёхугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. В данном случае все найденные углы ($54^\circ, 72^\circ, 90^\circ, 144^\circ$) меньше $180^\circ$. Следовательно, этот четырёхугольник является выпуклым.

Ответ: $54^\circ$, $72^\circ$, $90^\circ$, $144^\circ$; является выпуклым.

2)

Пусть углы четырёхугольника равны $2x$, $4x$, $5x$ и $13x$. Составим уравнение:

$2x + 4x + 5x + 13x = 360^\circ$

$24x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{24}$

$x = 15^\circ$

Теперь найдём величину каждого угла:

Первый угол: $2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$

Второй угол: $4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$

Третий угол: $5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$

Четвёртый угол: $13 \cdot 15^\circ = 195^\circ$

Так как один из углов этого четырёхугольника ($195^\circ$) больше $180^\circ$, то он не является выпуклым (является вогнутым).

Ответ: $30^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$, $195^\circ$; не является выпуклым.

5. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD$, $CB = CD$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADC = 84^{\circ}$.

5. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD$, $CB = CD$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADC = 84^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи известно, что $AB = AD$ и $CB = CD$.

Проведем диагональ $AC$. Она разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сравним эти два треугольника. У них:

1. 1. Сторона $AB$ равна стороне $AD$ ($AB = AD$ по условию).
2. 2. Сторона $CB$ равна стороне $CD$ ($CB = CD$ по условию).
3. 3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках соответствующие углы равны. Угол $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив общей стороны $AC$. Аналогично, угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ также лежит напротив общей стороны $AC$. Таким образом, эти углы являются соответствующими и равными: $\angle ABC = \angle ADC$.

По условию задачи $\angle ADC = 84^\circ$.

Значит, $\angle ABC$ также равен $84^\circ$.

Ответ: $84^\circ$.

6. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BAC = \angle DCA$, $\angle DAC = \angle BCA$. Найдите сторону $BC$, если $AD = 12$ см.

6. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BAC = \angle DCA$, $\angle DAC = \angle BCA$. Найдите сторону $BC$, если $AD = 12$ см.

Рассмотрим два треугольника, на которые диагональ $AC$ делит четырехугольник $ABCD$: это треугольники $ABC$ и $CDA$.

Сравним эти два треугольника:

1. $∠BAC = ∠DCA$ (по условию).
2. $∠BCA = ∠DAC$ (по условию).
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ABC$ равен треугольнику $CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Сторона $BC$ лежит в треугольнике $ABC$ напротив угла $∠BAC$. Сторона $AD$ лежит в треугольнике $CDA$ напротив угла $∠DCA$. Поскольку углы $∠BAC$ и $∠DCA$ равны по условию, то и противолежащие им стороны $BC$ и $AD$ также равны.

Итак, $BC = AD$.

По условию задачи $AD = 12$ см, следовательно, $BC = 12$ см.

Ответ: 12 см.

7. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ на две равные части. Докажите, что $BC = CD$.

7. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны, а диагональ AC делит диагональ BD на две равные части. Докажите, что $BC = CD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$.

Из условия задачи известно, что диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ на две равные части. Это означает, что точка $O$ является серединой стороны $BD$ треугольника $\triangle BCD$, то есть $BO = DO$. Таким образом, отрезок $CO$ является медианой треугольника $\triangle BCD$, проведённой из вершины $C$ к стороне $BD$.

Также по условию, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($AC \perp BD$). Это означает, что отрезок $CO$ перпендикулярен стороне $BD$. Таким образом, $CO$ является высотой треугольника $\triangle BCD$, проведённой из вершины $C$ к стороне $BD$.

Поскольку в треугольнике $\triangle BCD$ отрезок $CO$ является одновременно и медианой, и высотой, то по признаку равнобедренного треугольника, треугольник $\triangle BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $BC = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BC = CD$ доказано.

8. Периметр четырёхугольника равен 62 см, а периметры треугольников, на которые одна из диагоналей разбивает данный четырёхугольник, равны 39 см и 45 см. Найдите эту диагональ четырёхугольника.

8. Периметр четырёхугольника равен 62 см, а периметры треугольников, на которые одна из диагоналей разбивает данный четырёхугольник, равны 39 см и 45 см. Найдите эту диагональ четырёхугольника.

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$. Его периметр $P_{четыр.}$ — это сумма длин всех сторон.

$P_{четыр.} = a + b + c + d = 62$ см.

Пусть диагональ, которая делит четырехугольник на два треугольника, имеет длину $x$.

Эта диагональ образует два треугольника:

1. Первый треугольник со сторонами $a, b$ и диагональю $x$. Его периметр $P_1$ равен $39$ см.
2. Второй треугольник со сторонами $c, d$ и той же диагональю $x$. Его периметр $P_2$ равен $45$ см.

Запишем формулы для периметров этих треугольников:

$P_1 = a + b + x = 39$ см

$P_2 = c + d + x = 45$ см

Сложим периметры двух треугольников:

$P_1 + P_2 = (a + b + x) + (c + d + x)$

Сумма периметров треугольников включает в себя все четыре стороны четырехугольника и дважды длину диагонали (поскольку она является общей стороной для обоих треугольников).

$P_1 + P_2 = (a + b + c + d) + 2x$

Мы знаем, что $(a + b + c + d)$ — это периметр четырехугольника, который равен $62$ см. Подставим все известные значения в уравнение:

$39 + 45 = 62 + 2x$

$84 = 62 + 2x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$2x = 84 - 62$

$2x = 22$

$x = \frac{22}{2}$

$x = 11$ см

Таким образом, длина диагонали четырехугольника составляет 11 см.

Ответ: 11 см.

9. Существует ли четырёхугольник, стороны которого равны 6 см, 12 см, 14 см и 33 см?

9. Существует ли четырёхугольник, стороны которого равны 6 см, 12 см, 14 см и 33 см?

Для того чтобы четырёхугольник мог существовать, необходимо, чтобы длина его наибольшей стороны была меньше суммы длин трёх остальных сторон. Это является следствием неравенства треугольника для многоугольников.

В нашем случае даны стороны: 6 см, 12 см, 14 см и 33 см.

Определим самую длинную сторону. Это сторона длиной 33 см.

Теперь найдём сумму длин трёх других сторон:

$6 + 12 + 14 = 32$ см.

Сравним длину самой большой стороны с суммой длин остальных сторон:

$33 \text{ см} > 32 \text{ см}$

Поскольку длина самой большой стороны (33 см) больше суммы длин трёх других сторон (32 см), то такой четырёхугольник не может существовать. Геометрически это означает, что три более короткие стороны, соединённые последовательно, не смогут "дотянуться" до концов самой длинной стороны, чтобы замкнуть фигуру.

Ответ: нет, такой четырёхугольник не существует.

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 74 см, а диагонали равны:

1) 28 см и 47 см;

2) 17 см и 21 см?

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 74 см, а диагонали равны:

1) 28 см и 47 см;

2) 17 см и 21 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сторон и диагоналей любого выпуклого четырёхугольника. Сумма длин диагоналей любого выпуклого четырёхугольника всегда меньше его периметра.

Докажем это свойство. Пусть у нас есть четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и диагоналями $AC$ и $BD$. Периметр $P = AB + BC + CD + DA$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. Согласно неравенству треугольника:

$AC < AB + BC$

$AC < AD + DC$

Сложив эти два неравенства, получим:

$2 \cdot AC < AB + BC + AD + DC$

$2 \cdot AC < P$, откуда $AC < \frac{P}{2}$.

Аналогично для диагонали $BD$, рассмотрев треугольники $ABD$ и $CBD$:

$BD < AB + AD$

$BD < BC + CD$

Сложив эти неравенства, получим:

$2 \cdot BD < AB + AD + BC + CD$

$2 \cdot BD < P$, откуда $BD < \frac{P}{2}$.

Теперь сложим неравенства для обеих диагоналей:

$AC + BD < \frac{P}{2} + \frac{P}{2}$

$AC + BD < P$

Таким образом, для существования четырёхугольника необходимо, чтобы сумма его диагоналей была меньше его периметра. Проверим это условие для каждого случая.

1) 28 см и 47 см;

Периметр четырёхугольника $P = 74$ см.

Длины диагоналей $d_1 = 28$ см и $d_2 = 47$ см.

Найдём сумму длин диагоналей:

$d_1 + d_2 = 28 + 47 = 75$ см.

Проверим выполнение неравенства $d_1 + d_2 < P$:

$75 \text{ см} < 74 \text{ см}$

Это неравенство неверно. Следовательно, четырёхугольник с такими параметрами не существует.

Ответ: не существует.

2) 17 см и 21 см?

Периметр четырёхугольника $P = 74$ см.

Длины диагоналей $d_1 = 17$ см и $d_2 = 21$ см.

Найдём сумму длин диагоналей:

$d_1 + d_2 = 17 + 21 = 38$ см.

Проверим выполнение неравенства $d_1 + d_2 < P$:

$38 \text{ см} < 74 \text{ см}$

Это неравенство верно. Также существует и другое необходимое условие: сумма диагоналей должна быть больше полупериметра ($d_1 + d_2 > \frac{P}{2}$).

Проверим его:

$\frac{P}{2} = \frac{74}{2} = 37$ см.

$38 \text{ см} > 37 \text{ см}$

Это неравенство также верно. Так как оба основных необходимых условия для существования выпуклого четырёхугольника выполняются, можно сделать вывод, что такой четырёхугольник существует.

Ответ: существует.