Страница 70 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 83) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 83

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 83) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 83

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы используем признак параллельности прямых на основе равенства внутренних накрест лежащих углов.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $∠1$ и $∠2$ являются внутренними накрест лежащими углами. Из рисунка видно, что $∠1$ — это $∠DAC$, а $∠2$ — это $∠BCA$.

2. По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$. Следовательно, $∠DAC = ∠BCA$.

3. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Таким образом, из равенства $∠DAC = ∠BCA$ следует, что $AD \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $∠4$ и $∠3$ являются внутренними накрест лежащими углами. Из рисунка видно, что $∠4$ — это $∠ABD$, а $∠3$ — это $∠CDB$.

5. По условию задачи дано, что $∠3 = ∠4$. Следовательно, $∠CDB = ∠ABD$.

6. Применяя тот же признак параллельности прямых, из равенства $∠CDB = ∠ABD$ следует, что $AB \parallel CD$.

7. Мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны: $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$.

8. По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

12. Периметр параллелограмма равен 80 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на 14 см меньше другой.

12. Периметр параллелограмма равен 80 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на 14 см меньше другой.

Пусть одна сторона параллелограмма равна $a$, а смежная с ней сторона — $b$. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

Согласно условию задачи, периметр равен 80 см. Следовательно, сумма двух смежных сторон равна половине периметра:

$a + b = \frac{P}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Также по условию, одна из сторон на 14 см меньше другой. Пусть $a$ — большая сторона, тогда $b = a - 14$. Подставим это выражение в полученное выше равенство:

$a + (a - 14) = 40$

Теперь решим это уравнение:

$2a - 14 = 40$

$2a = 40 + 14$

$2a = 54$

$a = \frac{54}{2} = 27$

Таким образом, одна сторона равна 27 см. Теперь найдем вторую сторону:

$b = 27 - 14 = 13$

Итак, стороны параллелограмма равны 13 см и 27 см.

Ответ: 13 см и 27 см.

13. Периметр параллелограмма равен 98 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как 4 : 3.

13. Периметр параллелограмма равен 98 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как 4 : 3.

Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, периметр $P = 98$ см. Также известно, что две стороны относятся как 4 : 3. Поскольку противоположные стороны равны, это отношение должно быть между смежными сторонами.

Пусть $a : b = 4 : 3$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $a = 4x$ и $b = 3x$.

Подставим эти выражения в формулу периметра:

$98 = 2(4x + 3x)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

$98 = 2(7x)$

$98 = 14x$

$x = \frac{98}{14}$

$x = 7$

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины сторон параллелограмма:

Сторона $a = 4x = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Сторона $b = 3x = 3 \cdot 7 = 21$ см.

Таким образом, у параллелограмма две стороны равны 28 см, а две другие — 21 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 28 см и 21 см.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $63^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $134^\circ$;

3) один из его углов на $44^\circ$ меньше другого;

4) один из его углов в 11 раз меньше другого;

5) два его угла относятся как $5 : 13$.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $63^{\circ}$;

2) сумма двух его углов равна $134^{\circ}$;

3) один из его углов на $44^{\circ}$ меньше другого;

4) один из его углов в 11 раз меньше другого;

5) два его угла относятся как $5 : 13$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних), равна $180^\circ$.

Из этих свойств следует, что у параллелограмма есть две пары равных углов. Обозначим величины этих двух разных углов как $\alpha$ и $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из его углов равен 63°
Пусть один из углов параллелограмма равен $63^\circ$. Противоположный ему угол также равен $63^\circ$.
Угол, соседний с данным, найдем из свойства суммы углов, прилежащих к одной стороне:
$180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$.
Четвертый угол является противоположным второму, поэтому он также равен $117^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма равны $63^\circ, 117^\circ, 63^\circ, 117^\circ$.
Ответ: $63^\circ, 117^\circ, 63^\circ, 117^\circ$.

2) сумма двух его углов равна 134°
Сумма двух соседних углов параллелограмма всегда равна $180^\circ$. Так как по условию сумма равна $134^\circ$, эти углы не могут быть соседними. Следовательно, это противоположные углы.
Противоположные углы параллелограмма равны. Найдем величину каждого из этих углов:
$134^\circ \div 2 = 67^\circ$.
Итак, два угла равны по $67^\circ$. Два других угла являются соседними к ним, и они также равны между собой. Найдем их величину:
$180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$.
Углы параллелограмма равны $67^\circ, 113^\circ, 67^\circ, 113^\circ$.
Ответ: $67^\circ, 113^\circ, 67^\circ, 113^\circ$.

3) один из его углов на 44° меньше другого
Поскольку противоположные углы равны, их разность равна нулю. Значит, речь идет о соседних углах.
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $x + 44^\circ$.
Сумма соседних углов равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 44^\circ) = 180^\circ$
$2x + 44^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 44^\circ$
$2x = 136^\circ$
$x = 68^\circ$.
Меньший угол равен $68^\circ$, а больший — $68^\circ + 44^\circ = 112^\circ$.
Углы параллелограмма равны $68^\circ, 112^\circ, 68^\circ, 112^\circ$.
Ответ: $68^\circ, 112^\circ, 68^\circ, 112^\circ$.

4) один из его углов в 11 раз меньше другого
Эти углы не могут быть противоположными (так как они не равны), значит, они соседние.
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $11x$.
Их сумма равна $180^\circ$. Составим уравнение:
$x + 11x = 180^\circ$
$12x = 180^\circ$
$x = 180^\circ \div 12$
$x = 15^\circ$.
Меньший угол равен $15^\circ$, а больший — $11 \times 15^\circ = 165^\circ$.
Углы параллелограмма равны $15^\circ, 165^\circ, 15^\circ, 165^\circ$.
Ответ: $15^\circ, 165^\circ, 15^\circ, 165^\circ$.

5) два его угла относятся как 5 : 13
Отношение противоположных углов равно 1:1. Так как отношение равно 5:13, речь идет о соседних углах.
Пусть одна часть составляет $x$ градусов. Тогда один угол равен $5x$, а другой — $13x$.
Сумма этих углов равна $180^\circ$. Составим уравнение:
$5x + 13x = 180^\circ$
$18x = 180^\circ$
$x = 10^\circ$.
Найдем углы:
Первый угол: $5 \times 10^\circ = 50^\circ$.
Второй угол: $13 \times 10^\circ = 130^\circ$.
Углы параллелограмма равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.
Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

15. Даны два параллелограмма $ABCD$ и $PKTF$. Могут ли одновременно выполняться неравенства: $\angle C > \angle T$ и $\angle D > \angle F$?

15. Даны два параллелограмма $ABCD$ и $PKTF$. Могут ли одновременно выполняться неравенства: $\angle C > \angle T$ и $\angle D > \angle F$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами углов параллелограмма. В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Углы $\angle C$ и $\angle D$ прилежат к одной стороне $CD$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

2. Рассмотрим параллелограмм $PKTF$. При стандартном обозначении вершин по порядку, углы $\angle T$ и $\angle F$ являются соседними, так как они прилежат к одной стороне $TF$. Следовательно, их сумма также равна $180^\circ$:

$\angle T + \angle F = 180^\circ$

3. Теперь проанализируем заданные в условии неравенства:

$\angle C > \angle T$

$\angle D > \angle F$

4. Предположим, что оба этих неравенства выполняются одновременно. Сложим их почленно (левую часть с левой, а правую с правой):

$(\angle C + \angle D) > (\angle T + \angle F)$

5. Теперь подставим в это неравенство значения сумм углов, которые мы определили в пунктах 1 и 2:

$180^\circ > 180^\circ$

Полученное неравенство $180^\circ > 180^\circ$ является ложным. Это означает, что наше предположение о том, что оба неравенства могут выполняться одновременно, приводит к противоречию.

Следовательно, неравенства $\angle C > \angle T$ и $\angle D > \angle F$ не могут выполняться одновременно.

Ответ: Нет, не могут.

16. На рисунке 84 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 84

a
Параллелограмм $ABCD$. Угол $DBA = 32^\circ$. Угол $BDC = 36^\circ$.

б
Параллелограмм $ABCD$. Отрезки диагоналей: 8, 5, 4, 8.

в
Параллелограмм $ABCD$. Угол $DAB = 36^\circ$. Угол $ABC = 132^\circ$.

16. На рисунке 84 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 84

а

A, B, C, D, $32^\circ$, $36^\circ$

б

A, B, C, D, 8, 4, 5, 8

в

A, B, C, D, $36^\circ$, $132^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма.

а) В параллелограмме противоположные стороны параллельны. В данном случае сторона $AB$ параллельна стороне $DC$. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми, должны быть равны. То есть, $\angle ABD$ должен быть равен $\angle BDC$.

На рисунке указано, что $\angle ABD = 32^\circ$, а $\angle BDC = 36^\circ$.

Поскольку $32^\circ \neq 36^\circ$, данное условие не выполняется. Следовательно, величины углов на рисунке обозначены неверно.

Ответ: неверно.

б) Одним из основных свойств параллелограмма является то, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ — это точка $O$. Тогда должны выполняться равенства: $AO = OC$ и $BO = OD$.

На рисунке указаны длины отрезков диагоналей: $AO = 8$, $OC = 8$, $BO = 4$, $OD = 5$.

Равенство $AO = OC$ выполняется, так как $8 = 8$. Однако, равенство $BO = OD$ не выполняется, так как $4 \neq 5$. Следовательно, длины отрезков на рисунке обозначены неверно.

Ответ: неверно.

в) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к стороне $AB$, поэтому их сумма должна быть равна $180^\circ$.

На рисунке указано, что $\angle A = 36^\circ$ и $\angle B = 132^\circ$.

Проверим их сумму: $\angle A + \angle B = 36^\circ + 132^\circ = 168^\circ$.

Поскольку $168^\circ \neq 180^\circ$, свойство параллелограмма не выполняется. Следовательно, величины углов на рисунке обозначены неверно.

Ответ: неверно.

17. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите разность периметров треугольников AOB и BOC, если $CD = 11$ см, $AD = 6$ см.

17. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаютсяв точке $O$. Найдите разность периметров треугольников $AOB$ и $BOC$, если $CD = 11$ см, $AD = 6$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Периметр треугольника $AOB$ ($P_{\triangle AOB}$) равен сумме длин его сторон:

$P_{\triangle AOB} = AB + AO + BO$

Периметр треугольника $BOC$ ($P_{\triangle BOC}$) равен сумме длин его сторон:

$P_{\triangle BOC} = BC + BO + OC$

Найдем разность периметров этих треугольников:

$P_{\triangle AOB} - P_{\triangle BOC} = (AB + AO + BO) - (BC + BO + OC) = AB + AO + BO - BC - BO - OC$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$.

Упростим выражение для разности периметров, учитывая, что $AO = OC$ и член $BO$ сокращается:

$P_{\triangle AOB} - P_{\triangle BOC} = AB + AO - BC - AO = AB - BC$

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Из условия задачи известно, что $CD = 11$ см и $AD = 6$ см. Значит:

• $AB = CD = 11$ см
• $BC = AD = 6$ см

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу разности периметров:

$P_{\triangle AOB} - P_{\triangle BOC} = 11 \text{ см} - 6 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Разность периметров треугольников $AOB$ и $BOC$ составляет 5 см.

Ответ: 5 см.