Номер 14, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $63^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $134^\circ$;

3) один из его углов на $44^\circ$ меньше другого;

4) один из его углов в 11 раз меньше другого;

5) два его угла относятся как $5 : 13$.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $63^{\circ}$;

2) сумма двух его углов равна $134^{\circ}$;

3) один из его углов на $44^{\circ}$ меньше другого;

4) один из его углов в 11 раз меньше другого;

5) два его угла относятся как $5 : 13$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних), равна $180^\circ$.

Из этих свойств следует, что у параллелограмма есть две пары равных углов. Обозначим величины этих двух разных углов как $\alpha$ и $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из его углов равен 63°
Пусть один из углов параллелограмма равен $63^\circ$. Противоположный ему угол также равен $63^\circ$.
Угол, соседний с данным, найдем из свойства суммы углов, прилежащих к одной стороне:
$180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$.
Четвертый угол является противоположным второму, поэтому он также равен $117^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма равны $63^\circ, 117^\circ, 63^\circ, 117^\circ$.
Ответ: $63^\circ, 117^\circ, 63^\circ, 117^\circ$.

2) сумма двух его углов равна 134°
Сумма двух соседних углов параллелограмма всегда равна $180^\circ$. Так как по условию сумма равна $134^\circ$, эти углы не могут быть соседними. Следовательно, это противоположные углы.
Противоположные углы параллелограмма равны. Найдем величину каждого из этих углов:
$134^\circ \div 2 = 67^\circ$.
Итак, два угла равны по $67^\circ$. Два других угла являются соседними к ним, и они также равны между собой. Найдем их величину:
$180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$.
Углы параллелограмма равны $67^\circ, 113^\circ, 67^\circ, 113^\circ$.
Ответ: $67^\circ, 113^\circ, 67^\circ, 113^\circ$.

3) один из его углов на 44° меньше другого
Поскольку противоположные углы равны, их разность равна нулю. Значит, речь идет о соседних углах.
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $x + 44^\circ$.
Сумма соседних углов равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 44^\circ) = 180^\circ$
$2x + 44^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 44^\circ$
$2x = 136^\circ$
$x = 68^\circ$.
Меньший угол равен $68^\circ$, а больший — $68^\circ + 44^\circ = 112^\circ$.
Углы параллелограмма равны $68^\circ, 112^\circ, 68^\circ, 112^\circ$.
Ответ: $68^\circ, 112^\circ, 68^\circ, 112^\circ$.

4) один из его углов в 11 раз меньше другого
Эти углы не могут быть противоположными (так как они не равны), значит, они соседние.
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $11x$.
Их сумма равна $180^\circ$. Составим уравнение:
$x + 11x = 180^\circ$
$12x = 180^\circ$
$x = 180^\circ \div 12$
$x = 15^\circ$.
Меньший угол равен $15^\circ$, а больший — $11 \times 15^\circ = 165^\circ$.
Углы параллелограмма равны $15^\circ, 165^\circ, 15^\circ, 165^\circ$.
Ответ: $15^\circ, 165^\circ, 15^\circ, 165^\circ$.

5) два его угла относятся как 5 : 13
Отношение противоположных углов равно 1:1. Так как отношение равно 5:13, речь идет о соседних углах.
Пусть одна часть составляет $x$ градусов. Тогда один угол равен $5x$, а другой — $13x$.
Сумма этих углов равна $180^\circ$. Составим уравнение:
$5x + 13x = 180^\circ$
$18x = 180^\circ$
$x = 10^\circ$.
Найдем углы:
Первый угол: $5 \times 10^\circ = 50^\circ$.
Второй угол: $13 \times 10^\circ = 130^\circ$.
Углы параллелограмма равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.
Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.