Номер 21, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $AB$ в отношении $1 : 4$, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $72 \text{ см}$.

21. Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $AB$ в отношении 1 : 4, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 72 см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$.

По условию задачи, точка $E$ делит сторону $AB$ в отношении $AE : EB = 1 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины отрезков будут $AE = x$ и $EB = 4x$.

Длина всей стороны $AB$ будет равна сумме длин ее частей:$AB = AE + EB = x + 4x = 5x$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $CE$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle DCE$ и $\angle CEB$ — накрест лежащие, следовательно, они равны: $\angle DCE = \angle CEB$.

По определению, $CE$ — биссектриса угла $C$, значит, она делит этот угол пополам: $\angle BCE = \angle DCE$.

Из двух приведенных выше равенств углов следует, что $\angle BCE = \angle CEB$.

Рассмотрим треугольник $BCE$. Так как два его угла равны ($\angle BCE = \angle CEB$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $BC = EB$.

Поскольку $EB = 4x$, то и сторона $BC = 4x$.

Таким образом, смежные стороны параллелограмма равны $AB = 5x$ и $BC = 4x$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$. По условию, $P = 72$ см. Составим и решим уравнение:$2(5x + 4x) = 72$
$2 \cdot 9x = 72$
$18x = 72$
$x = \frac{72}{18}$
$x = 4$

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины сторон параллелограмма:$AB = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
$BC = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $CD = AB = 20$ см и $AD = BC = 16$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 16 см и 20 см.