Номер 25, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.

Обозначим данный равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AB$ и $BC$ — равные боковые стороны, а $AC$ — основание. По условию, $AB = BC = 10$ см. Пусть $D$ — произвольная точка на основании $AC$. Через точку $D$ проведены прямые $DF$ и $DE$, где точка $F$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$. По условию, $DF \parallel BC$ и $DE \parallel AB$.

Рассмотрим четырехугольник $FBED$. Так как его противоположные стороны попарно параллельны по построению ($DF \parallel BE$ и $DE \parallel FB$), то $FBED$ является параллелограммом по определению.

Периметр параллелограмма $FBED$ равен сумме длин его сторон: $P_{FBED} = FB + BE + ED + DF$.

Найдем соотношения между сторонами получившихся фигур.

1. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при его основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Поскольку прямая $DE$ параллельна $AB$, то углы $\angle EDC$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE, AB$ и секущей $AC$. Таким образом, $\angle EDC = \angle BAC$. Отсюда следует, что $\angle EDC = \angle BCA$. В треугольнике $DEC$ угол при вершине $D$ ($\angle EDC$) равен углу при вершине $C$ ($\angle ECD$), следовательно, треугольник $DEC$ является равнобедренным, и $DE = EC$.

2. Поскольку прямая $DF$ параллельна $BC$, то сумма внутренних односторонних углов при секущей $AC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle FDC + \angle BCA = 180^\circ$. Углы $\angle ADF$ и $\angle FDC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle ADF + \angle FDC = 180^\circ$. Сравнивая эти два равенства, получаем, что $\angle ADF = \angle BCA$. А так как $\angle BCA = \angle BAC$, то $\angle ADF = \angle BAC$. В треугольнике $AFD$ угол при вершине $A$ ($\angle FAD$) равен углу при вершине $D$ ($\angle ADF$), следовательно, треугольник $AFD$ также является равнобедренным, и $DF = AF$.

Теперь вычислим периметр параллелограмма, подставив в формулу найденные равенства $DE = EC$ и $DF = AF$:
$P_{FBED} = FB + BE + DE + DF = FB + BE + EC + AF$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$P_{FBED} = (AF + FB) + (BE + EC)$.
Сумма $(AF + FB)$ равна длине стороны $AB$, а сумма $(BE + EC)$ равна длине стороны $BC$.
Таким образом, периметр параллелограмма равен сумме длин боковых сторон исходного треугольника:
$P_{FBED} = AB + BC$.

Подставляя заданное значение длины боковой стороны, получаем:
$P_{FBED} = 10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.