Номер 18, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. На рисунке 85 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 85

а

Внутренний угол при вершине B: $50^\circ$

Внутренний угол при вершине A: $20^\circ$

Угол между диагоналями: $80^\circ$

Вершины: A, B, C, D

б

Сторона BC: $8$

Сторона AD: $6$

Диагональ AC: $7$

Внутренний угол при вершине A: $80^\circ$

Внутренний угол при вершине D: $20^\circ$

Вершины: A, B, C, D

в

Сторона AB: $9$

Сторона BC: $10$

Угол ABC: $120^\circ$

Внутренний угол при вершине A: $40^\circ$

Вершины: A, B, C, D

18. На рисунке 85 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 85

а

Даны углы: $\angle CBD = 50^\circ$, $\angle BDA = 80^\circ$, $\angle CAD = 20^\circ$.

б

Даны стороны, диагональ и углы: $BC = 8$, $BD = 7$, $\angle DAB = 80^\circ$, $\angle ADB = 20^\circ$.

в

Даны стороны и углы: $AB = 9$, $BC = 10$, $\angle ABC = 120^\circ$, $\angle ADC = 40^\circ$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства параллелограмма и треугольников.

аВ параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $BC || AD$. Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $∠CBD$ и $∠BDA$ должны быть равны. По условию $∠CBD = 50°$, значит, и $∠BDA$ должен быть равен $50°$.Рассмотрим треугольник $AOD$, где $O$ – точка пересечения диагоналей. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180°$. В этом треугольнике нам известны углы: $∠OAD = 20°$, $∠ODA$ (то же, что и $∠BDA$) $= 50°$, и $∠AOD = 80°$ (как смежный с углом $80°$ между диагоналями, если $80°$ - это $∠BOC$, или как вертикальный, если это $∠AOD$ или $∠BOC$). Проверим сумму углов в треугольнике $AOD$:$∠OAD + ∠ODA + ∠AOD = 20° + 50° + 80° = 150°$.Сумма углов не равна $180°$ ($150° ≠ 180°$). Следовательно, данные на рисунке противоречат свойствам треугольника.Ответ: величины углов обозначены неверно.

бВ параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы $∠ABD$ и $∠BDC$ должны быть равны.На рисунке указано, что $∠ABD = 80°$, а $∠BDC = 20°$.Так как $80° ≠ 20°$, это противоречит свойству параллельных прямых.Ответ: величины углов обозначены неверно.

вВ параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Значит, $∠A + ∠B = 180°$.По условию, $∠B = 120°$, следовательно, $∠A = 180° - 120° = 60°$.Угол $∠A$ состоит из двух углов: $∠BAC$ и $∠CAD$. Нам дан $∠CAD = 40°$. Тогда $∠BAC = ∠A - ∠CAD = 60° - 40° = 20°$.Противоположные стороны параллелограмма параллельны, то есть $BC || AD$. Диагональ $AC$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны. Так как $∠CAD = 40°$, то и $∠BCA = 40°$.Теперь проверим, выполняется ли теорема о сумме углов для треугольника $ABC$. Сумма его углов должна быть $180°$:$∠B + ∠BAC + ∠BCA = 120° + 20° + 40° = 180°$.Противоречий не найдено. Все указанные величины согласуются со свойствами параллелограмма.Ответ: величины углов и длин отрезков обозначены верно.

Таким образом, неверные обозначения присутствуют на рисунках а и б.