Номер 24, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BH$ и $DE$. Найдите периметр параллелограмма, если $BH = 10 \text{ см}$, $DE = 7 \text{ см}$, $\angle ABC = 150^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BH$ и $DE$. Найдите периметр параллелограмма, если $BH = 10 \text{ см}$, $DE = 7 \text{ см}$, $\angle ABC = 150^\circ$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию один из его углов, $\angle ABC$, равен $150^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Следовательно, мы можем найти острый угол параллелограмма, $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Высота $BH$ проведена из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $CD$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $\triangle BHC$ с прямым углом $\angle BHC$. В этом треугольнике угол $\angle C$ равен острому углу параллелограмма, то есть $\angle C = 30^\circ$. Используя определение синуса, мы можем найти длину стороны $BC$, которая является гипотенузой в этом треугольнике:

$\sin(\angle C) = \frac{BH}{BC}$

$BC = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{10 \text{ см}}{1/2} = 20 \text{ см}$.

Высота $DE$ проведена из вершины $D$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $\triangle DEC$ с прямым углом $\angle DEC$. В этом треугольнике угол $\angle C$ также равен $30^\circ$. Используя определение синуса, мы можем найти длину стороны $CD$, которая является гипотенузой в этом треугольнике:

$\sin(\angle C) = \frac{DE}{CD}$

$CD = \frac{DE}{\sin(30^\circ)} = \frac{7 \text{ см}}{1/2} = 14 \text{ см}$.

Теперь, когда мы нашли длины двух смежных сторон параллелограмма ($BC = 20$ см и $CD = 14$ см), мы можем вычислить его периметр. Периметр параллелограмма $P$ равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P = 2 \cdot (BC + CD) = 2 \cdot (20 + 14) = 2 \cdot 34 = 68 \text{ см}$.

Ответ: 68 см.