Номер 22, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $B$ равен $60^\circ$. Высота $AH$ делит сторону $BC$ в отношении $4 : 7$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $76$ см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $B$ равен $60^\circ$. Высота $AH$ делит сторону $BC$ в отношении $4 : 7$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $76$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Известно, что $\angle B = 60°$. Поскольку в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, то $\angle C = 180° - \angle B = 180° - 60° = 120°$. Таким образом, $\angle B$ является острым углом, а $\angle C$ — тупым.

Проведена высота $AH$ к стороне $BC$. Это означает, что $AH \perp BC$ и треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $AH$ и $BH$. В этом треугольнике $\angle B = 60°$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:$\cos(\angle B) = \frac{BH}{AB}$$BH = AB \cdot \cos(60°) = AB \cdot \frac{1}{2}$

По условию, точка $H$ делит сторону $BC$ в отношении $4:7$, считая от вершины острого угла $B$. Значит, $BH : HC = 4 : 7$.Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $BH = 4x$ и $HC = 7x$.Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $HC$:$BC = BH + HC = 4x + 7x = 11x$.

Теперь приравняем два выражения для $BH$:$AB \cdot \frac{1}{2} = 4x$$AB = 8x$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $AB = 8x$ и $BC = 11x$.Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$. По условию, $P = 76$ см. Составим и решим уравнение:$2(8x + 11x) = 76$$2 \cdot 19x = 76$$38x = 76$$x = \frac{76}{38}$$x = 2$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:$AB = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.$BC = 11x = 11 \cdot 2 = 22$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 16 см и 22 см.