Номер 29, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. В четырёхугольнике ABCD (рис. 86) $AO = OC$, $\angle ACD = \angle BAC$. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 86

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 86) $AO = OC$, $\angle ACD = \angle BAC$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 86

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо установить, что он удовлетворяет одному из признаков параллелограмма. Рассмотрим два способа доказательства, основанных на данных задачи.

Способ 1. Через равенство и параллельность противоположных сторон.

1. Рассмотрим прямые AB и CD, а также секущую AC. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими. По условию задачи, $\angle BAC = \angle ACD$. Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, которые образовались при пересечении диагоналей AC и BD в точке O. В этих треугольниках:

• $AO = OC$ (по условию).
• $\angle OAB = \angle OCD$ (так как это те же углы, что и $\angle BAC$ и $\angle ACD$ из условия).
• $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по стороне и двум углам (признак AAS).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = CD$.

4. Мы доказали, что в четырехугольнике ABCD две противоположные стороны AB и CD одновременно параллельны ($AB \parallel CD$) и равны ($AB = CD$). По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Способ 2. Через диагонали.

1. Как и в первом способе, докажем равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Мы установили, что они равны по стороне и двум углам ($AO = OC$, $\angle OAB = \angle OCD$, $\angle AOB = \angle COD$).

2. Из равенства треугольников $\triangle AOB \cong \triangle COD$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $BO = OD$.

3. По условию нам дано, что $AO = OC$, и мы только что доказали, что $BO = OD$. Это означает, что диагонали AC и BD в точке их пересечения O делятся пополам.

4. По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.