Номер 35, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $COD$ перпендикулярна стороне $CD$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $COD$ перпендикулярна стороне $CD$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$, образованный стороной параллелограмма $CD$ и половинами его диагоналей $OC$ и $OD$.

Пусть $OK$ — биссектриса угла $\angle COD$, где точка $K$ находится на стороне $CD$. По условию задачи, эта биссектриса перпендикулярна стороне $CD$, то есть $OK \perp CD$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle COD$ отрезок $OK$ является одновременно и биссектрисой (делит угол $\angle COD$ пополам), и высотой (опущен из вершины $O$ перпендикулярно стороне $CD$).

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $\triangle COD$ является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $OC = OD$.

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. То есть, $AC = 2 \cdot OC$ и $BD = 2 \cdot OD$.

Так как мы установили, что $OC = OD$, то из этого следует, что $2 \cdot OC = 2 \cdot OD$, а значит $AC = BD$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Таким образом, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — прямоугольник.