Номер 33, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $\angle ADB$, если он на $135^\circ$ меньше угла $\angle BOC$.

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ADB$, если он на $135^{\circ}$ меньше угла $BOC$.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По условию задачи, угол $ADB$ на $135^\circ$ меньше угла $BOC$. Обозначим $\angle ADB = x$. Тогда $\angle BOC = x + 135^\circ$.

Рассмотрим свойства диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO=BO=CO=DO$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $AO = DO$, треугольник $AOD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle OAD = \angle ODA$. Поскольку $\angle ODA$ и $\angle ADB$ — это один и тот же угол, получаем $\angle OAD = \angle ADB = x$.

Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$. Отсюда можем выразить угол $AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (x + x) = 180^\circ - 2x$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для равных углов:

$180^\circ - 2x = x + 135^\circ$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$180^\circ - 135^\circ = x + 2x$

$45^\circ = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{45^\circ}{3}$

$x = 15^\circ$

Таким образом, угол $ADB$ равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$