Страница 73 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Диагонали прямоугольника $ABCD$ (рис. 89) пересекаются в точке $O$, $\angle AOD = 140^\circ$. Найдите угол $OCD$.

Рис. 89

32. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 89) пересекаются в точке O, $\angle AOD = 140^\circ$. Найдите угол OCD.

Рис. 89

По свойству прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Для прямоугольника $ABCD$ это означает, что $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольник $OCD$. Поскольку $OC = OD$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OCD = \angle ODC$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle DOC$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OC$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$). Сумма смежных углов составляет $180^{\circ}$.

$\angle DOC = 180^{\circ} - \angle AOD$

Из условия задачи известно, что $\angle AOD = 140^{\circ}$. Найдем $\angle DOC$:

$\angle DOC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

Теперь рассмотрим сумму углов в треугольнике $OCD$. Она равна $180^{\circ}$.

$\angle OCD + \angle ODC + \angle DOC = 180^{\circ}$

Заменим $\angle ODC$ на равный ему угол $\angle OCD$ и подставим найденное значение $\angle DOC$:

$\angle OCD + \angle OCD + 40^{\circ} = 180^{\circ}$

$2 \cdot \angle OCD = 180^{\circ} - 40^{\circ}$

$2 \cdot \angle OCD = 140^{\circ}$

$\angle OCD = \frac{140^{\circ}}{2}$

$\angle OCD = 70^{\circ}$

Ответ: $70^{\circ}$

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $\angle ADB$, если он на $135^\circ$ меньше угла $\angle BOC$.

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ADB$, если он на $135^{\circ}$ меньше угла $BOC$.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По условию задачи, угол $ADB$ на $135^\circ$ меньше угла $BOC$. Обозначим $\angle ADB = x$. Тогда $\angle BOC = x + 135^\circ$.

Рассмотрим свойства диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO=BO=CO=DO$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $AO = DO$, треугольник $AOD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle OAD = \angle ODA$. Поскольку $\angle ODA$ и $\angle ADB$ — это один и тот же угол, получаем $\angle OAD = \angle ADB = x$.

Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$. Отсюда можем выразить угол $AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (x + x) = 180^\circ - 2x$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для равных углов:

$180^\circ - 2x = x + 135^\circ$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$180^\circ - 135^\circ = x + 2x$

$45^\circ = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{45^\circ}{3}$

$x = 15^\circ$

Таким образом, угол $ADB$ равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 90). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите угол $ABD$, если $AC = 12$ см, $BC = 6$ см.

Рис. 90

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 90). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите угол $ABD$, если $AC = 12$ см, $BC = 6$ см.

Рис. 90

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ являются диаметрами окружности с центром $O$. Следовательно, они равны по длине и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=BO=OD$, так как все эти отрезки — радиусы).
Поскольку диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то по признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.
Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Так как $AC=BD$ (как диаметры одной окружности), то параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.
Ответ: Утверждение доказано.

Найдите угол ABD, если AC = 12 см, BC = 6 см.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как угол $\angle ABC$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AC$, то $\angle ABC = 90°$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.
В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $AC = 12$ см, а катет $BC = 6$ см. Найдём синус угла $\angle BAC$, который лежит напротив катета $BC$:
$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Из этого следует, что $\angle BAC = 30°$.
Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то $OA = OB$. Следовательно, $\triangle AOB$ — равнобедренный, и углы при его основании $AB$ равны: $\angle OBA = \angle OAB$.
Угол $\angle OBA$ — это искомый угол $\angle ABD$, а угол $\angle OAB$ — это найденный нами угол $\angle BAC$. Таким образом, $\angle ABD = \angle BAC = 30°$.
Ответ: $30°$.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $COD$ перпендикулярна стороне $CD$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $COD$ перпендикулярна стороне $CD$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$, образованный стороной параллелограмма $CD$ и половинами его диагоналей $OC$ и $OD$.

Пусть $OK$ — биссектриса угла $\angle COD$, где точка $K$ находится на стороне $CD$. По условию задачи, эта биссектриса перпендикулярна стороне $CD$, то есть $OK \perp CD$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle COD$ отрезок $OK$ является одновременно и биссектрисой (делит угол $\angle COD$ пополам), и высотой (опущен из вершины $O$ перпендикулярно стороне $CD$).

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $\triangle COD$ является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $OC = OD$.

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. То есть, $AC = 2 \cdot OC$ и $BD = 2 \cdot OD$.

Так как мы установили, что $OC = OD$, то из этого следует, что $2 \cdot OC = 2 \cdot OD$, а значит $AC = BD$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Таким образом, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — прямоугольник.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его меньшей стороны на 8 см больше, чем расстояние до большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 72 см.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямо-угольника до его меньшей стороны на 8 см больше, чем расстояние до большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 72 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ – меньшая сторона, а $b$ – большая сторона.

Точка пересечения диагоналей в прямоугольнике является его центром. Расстояние от центра прямоугольника до его сторон равно половине длин перпендикулярных им сторон. Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны ($a$) равно $b/2$, а расстояние до большей стороны ($b$) равно $a/2$.

По условию задачи, расстояние до меньшей стороны на 8 см больше, чем расстояние до большей стороны. Составим первое уравнение:
$b/2 = a/2 + 8$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$b = a + 16$

Периметр прямоугольника равен 72 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:
$2(a + b) = 72$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 36$

Получили систему из двух уравнений:
1) $b = a + 16$
2) $a + b = 36$

Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$a + (a + 16) = 36$
$2a + 16 = 36$
$2a = 36 - 16$
$2a = 20$
$a = 10$ (см)

Теперь найдем вторую сторону $b$, подставив найденное значение $a$ в первое уравнение:
$b = 10 + 16$
$b = 26$ (см)

Итак, стороны прямоугольника равны 10 см и 26 см.
Ответ: 10 см и 26 см.

37. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его двух соседних сторон равна 32 см. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 3 : 5.

37. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его двух соседних сторон равна 32 см. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $3 : 5$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром. Расстояние от центра прямоугольника до одной из его сторон равно половине длины смежной стороны. Таким образом, расстояния от точки пересечения диагоналей до двух соседних сторон равны $a/2$ и $b/2$.

По условию задачи, сумма этих расстояний равна 32 см:

$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 32$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$a + b = 64$

Также из условия известно, что стороны прямоугольника относятся как 3 : 5. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны прямоугольника можно выразить как $a = 3x$ и $b = 5x$.

Подставим эти выражения в уравнение $a + b = 64$:

$3x + 5x = 64$

$8x = 64$

$x = \frac{64}{8}$

$x = 8$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x$:

Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Вторая сторона: $b = 5x = 5 \cdot 8 = 40$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 24 см и 40 см.

38. Сумма гипотенузы прямоугольного треугольника и проведённой к ней медианы равна 27 см. Найдите гипотенузу.

38. Сумма гипотенузы прямоугольного треугольника и проведённой к ней медианы равна 27 см. Найдите гипотенузу.

Обозначим длину гипотенузы прямоугольного треугольника как $c$, а длину медианы, проведённой к гипотенузе, как $m_c$.

По условию задачи, сумма длины гипотенузы и медианы, проведённой к ней, составляет 27 см. Это можно записать в виде уравнения:

$c + m_c = 27$

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это ключевое свойство, которое мы используем для решения задачи. Математически оно записывается так:

$m_c = \frac{c}{2}$

Теперь подставим это выражение для $m_c$ в наше первоначальное уравнение:

$c + \frac{c}{2} = 27$

Решим полученное уравнение относительно $c$. Сложим слагаемые в левой части:

$\frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 27$

$\frac{3c}{2} = 27$

Теперь, чтобы найти $c$, умножим обе части уравнения на 2 и разделим на 3:

$3c = 27 \cdot 2$

$3c = 54$

$c = \frac{54}{3}$

$c = 18$

Следовательно, длина гипотенузы равна 18 см.

Ответ: 18 см.

39. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14$ см, $\angle A = 35^\circ$, $\angle B = 55^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к стороне $AB$.

39. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14$ см, $\angle A = 35^\circ$, $\angle B = 55^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к стороне $AB$.

1. Найдем третий угол треугольника $\triangle ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
Подставим известные значения:
$\angle C = 180^\circ - (35^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

2. Так как угол $\angle C = 90^\circ$, то треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным. Сторона $AB$, к которой нужно провести медиану, является гипотенузой этого треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. Тогда ее длина вычисляется по формуле:
$CM = \frac{1}{2} AB$

4. По условию, длина гипотенузы $AB = 14$ см. Вычислим длину медианы:
$CM = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 7 см.