Страница 79 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. В окружности с центром $O$ проведён диаметр $AB$ (рис. 94). Найдите угол $CAB$, если $\angle CED = 14^\circ$, $\angle ABD = 53^\circ$.

Рис. 94

94. В окружности с центром $O$ проведён диаметр $AB$ (рис. 94). Найдите угол $CAB$, если $\angle CED = 14^\circ$, $\angle ABD = 53^\circ$.

Рис. 94

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности.

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. И наоборот, градусная мера дуги равна удвоенному вписанному углу, который на неё опирается.

Угол $∠ABD$ является вписанным и опирается на дугу $AD$. По условию $∠ABD = 53°$.
Следовательно, градусная мера дуги $AD$ равна:
$\text{дуга } AD = 2 \cdot ∠ABD = 2 \cdot 53° = 106°$

Угол $∠CED$ является вписанным и опирается на дугу $CD$. По условию $∠CED = 14°$.
Следовательно, градусная мера дуги $CD$ равна:
$\text{дуга } CD = 2 \cdot ∠CED = 2 \cdot 14° = 28°$

2. На основании рисунка, точка $C$ лежит на дуге $AD$. Это означает, что дуга $AD$ состоит из суммы дуг $AC$ и $CD$.
$\text{дуга } AD = \text{дуга } AC + \text{дуга } CD$
Отсюда мы можем найти градусную меру дуги $AC$:
$\text{дуга } AC = \text{дуга } AD - \text{дуга } CD = 106° - 28° = 78°$

3. Отрезок $AB$ — диаметр окружности. Следовательно, дуга $ACB$ является полуокружностью, и её градусная мера составляет $180°$.
Дуга $ACB$ состоит из суммы дуг $AC$ и $CB$.
$\text{дуга } ACB = \text{дуга } AC + \text{дуга } CB = 180°$
Теперь мы можем найти градусную меру дуги $CB$:
$\text{дуга } CB = 180° - \text{дуга } AC = 180° - 78° = 102°$

4. Искомый угол $∠CAB$ является вписанным и опирается на дугу $CB$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги.
$∠CAB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CB = \frac{1}{2} \cdot 102° = 51°$

Ответ: $51°$.

95. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке N (рис. 95). Найдите угол BND, если $\cup AC = 44^\circ$, $\cup BD = 96^\circ$.

Рис. 95

95. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке N (рис. 95). Найдите $\angle BND$, если $\text{U} AC = 44^\circ$, $\text{U} BD = 96^\circ$.

Рис. 95

Согласно теореме об угле между пересекающимися хордами, величина угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна половине суммы угловых величин дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В данной задаче хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$. Угол $∠BND$ и вертикальный ему угол $∠ANC$ опираются на дуги $BD$ и $AC$ соответственно.

Следовательно, для нахождения величины угла $∠BND$ применяется формула: $∠BND = \frac{1}{2} (\text{◡}AC + \text{◡}BD)$

Подставим известные из условия значения величин дуг $ \text{◡}AC = 44° $ и $ \text{◡}BD = 96° $ в формулу:

$∠BND = \frac{1}{2} (44° + 96°)$

Выполним сложение в скобках: $∠BND = \frac{1}{2} (140°)$

Вычислим окончательное значение угла: $∠BND = 70°$

Ответ: 70°.

96. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M (рис. 96).

Найдите угол $DMB$, если $\overset{\frown}{AC} = 38^\circ$, $\overset{\frown}{BD} = 116^\circ$.

Рис. 96

96. Хорды $AB$ и $CD$ окружности не пересекаются, а прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ (рис. 96). Найдите угол $DMB$, если $ \cup AC = 38^\circ, \cup BD = 116^\circ $.

Рис. 96

Угол, образованный двумя секущими, которые пересекаются в точке вне окружности, равен половине разности величин дуг, высекаемых на окружности этими секущими.

В данной задаче угол $DMB$ является углом между двумя секущими $MCD$ и $MAB$, которые пересекаются в точке $M$. Эти секущие высекают на окружности большую (дальнюю) дугу $BD$ и меньшую (ближнюю) дугу $AC$.

Формула для нахождения величины угла $DMB$ выглядит следующим образом:

$\angle DMB = \frac{1}{2} (\cup BD - \cup AC)$

По условию задачи нам известны градусные меры этих дуг:

$\cup BD = 116°$

$\cup AC = 38°$

Теперь подставим данные значения в формулу и вычислим величину угла:

$\angle DMB = \frac{1}{2} (116° - 38°)$

$\angle DMB = \frac{1}{2} (78°)$

$\angle DMB = 39°$

Ответ: 39°.

97. Прямые AN и CK касаются окружности, описанной около треугольника ABC, в точках A и C соответственно (рис. 97). Найдите углы треугольника ABC, если $\angle CAN = 82^\circ$, $\angle BCK = 61^\circ$.

Рис. 97

97. Прямые $AN$ и $CK$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $A$ и $C$ соответственно (рис. 97). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle CAN = 82^\circ$, $\angle BCK = 61^\circ$.

Рис. 97

Для решения данной задачи используется теорема об угле между касательной и хордой. Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.

Угол ABC
Угол $∠CAN$ образован касательной $AN$ и хордой $AC$. Согласно теореме, он равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AC$. В треугольнике $ABC$ этим углом является $∠ABC$.
Следовательно, $∠ABC = ∠CAN = 82°$.

Угол BAC
Аналогично, угол $∠BCK$ образован касательной $CK$ и хордой $BC$. Он равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$. В треугольнике $ABC$ этим углом является $∠BAC$.
Следовательно, $∠BAC = ∠BCK = 61°$.

Угол BCA
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Зная два угла треугольника $ABC$, мы можем найти третий угол $∠BCA$:
$∠BCA = 180° - (∠ABC + ∠BAC)$
$∠BCA = 180° - (82° + 61°) = 180° - 143° = 37°$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $∠A = 61°$, $∠B = 82°$, $∠C = 37°$.