Страница 86 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. На рисунке 107 $\angle ABD = \angle ACB$. Найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие.

Рис. 107

142. На рисунке 107 $\angle ABD = \angle ACB$. Найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие.

Рис. 107

Для нахождения подобных треугольников и доказательства их подобия рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $.

Воспользуемся первым признаком подобия треугольников, который гласит, что если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1. Угол $ \angle A $ (или $ \angle BAC $) является общим для обоих треугольников: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $.
2. По условию задачи нам дано равенство углов: $ \angle ACB = \angle ABD $.

Таким образом, мы имеем две пары соответственно равных углов у треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $. Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.

При записи подобия важно соблюдать порядок вершин, соответствующих равным углам: вершине A первого треугольника соответствует вершина A второго, вершине C первого — вершина B второго, и вершине B первого — вершина D второго.

Значит, $ \triangle ABC \sim \triangle ADB $.

Ответ: Подобными треугольниками на рисунке являются $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $. Их подобие доказывается по первому признаку подобия треугольников (по двум углам), так как $ \angle A $ — общий, а $ \angle ACB = \angle ABD $ по условию.

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BK$ и $CF$ (рис. 108). Докажите подобие треугольников $CBK$ и $DCF$.

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BK$ и $CF$ (рис. 108). Докажите подобие треугольников $CBK$ и $DCF$.

Рис. 108

Для доказательства подобия треугольников $CBK$ и $DCF$ воспользуемся первым признаком подобия, то есть докажем, что у этих треугольников есть две пары равных углов.

1. Рассмотрим первую пару углов. По условию $BK$ и $CF$ – высоты параллелограмма. Высота $BK$ проведена к стороне $CD$, следовательно, $BK \perp CD$ и угол $\angle BKC = 90^\circ$. Высота $CF$ проведена к продолжению стороны $AD$ (к прямой $AF$), следовательно, $CF \perp AF$ и угол $\angle CFD = 90^\circ$. Таким образом, мы нашли первую пару равных углов: $\angle BKC = \angle CFD = 90^\circ$.

2. Рассмотрим вторую пару углов. Используем свойства углов параллелограмма $ABCD$. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle BCD = \angle BAD$. Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$. Углы $\angle ADC$ и $\angle FDC$ являются смежными, так как точки $A$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADC + \angle FDC = 180^\circ$. Сравнивая два последних равенства, получаем, что $\angle BAD = \angle FDC$.

Так как $\angle BCD = \angle BAD$ и $\angle BAD = \angle FDC$, то по свойству транзитивности $\angle BCD = \angle FDC$. Угол $\angle BCD$ – это тот же угол, что и $\angle KCB$ в треугольнике $CBK$. Следовательно, мы нашли вторую пару равных углов: $\angle KCB = \angle FDC$.

Поскольку два угла треугольника $CBK$ ($\angle BKC$ и $\angle KCB$) соответственно равны двум углам треугольника $DCF$ ($\angle CFD$ и $\angle FDC$), то треугольники $CBK$ и $DCF$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $CBK$ и $DCF$ подобны по первому признаку подобия, так как у них есть две пары равных углов: $\angle BKC = \angle CFD = 90^\circ$ (как углы при высотах) и $\angle KCB = \angle FDC$ (как следует из свойств углов параллелограмма и смежных углов).

144. Стороны параллелограмма равны 15 см и 20 см, а расстояние между большими сторонами — 12 см. Найдите расстояние между меньшими сторонами параллелограмма.

144. Стороны параллелограмма равны 15 см и 20 см, а расстояние между большими сторонами — 12 см. Найдите расстояние между меньшими сторонами параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно.

По условию задачи имеем:
Меньшая сторона $a = 15$ см.
Большая сторона $b = 20$ см.
Расстояние между большими сторонами — это высота, проведенная к большей стороне, то есть $h_b = 12$ см.
Нужно найти расстояние между меньшими сторонами, то есть высоту $h_a$.

Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами: как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

С одной стороны, площадь равна $S = a \cdot h_a$.
С другой стороны, та же площадь равна $S = b \cdot h_b$.

Приравняем эти два выражения для площади:$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Подставим известные значения в формулу:$15 \cdot h_a = 20 \cdot 12$

Вычислим правую часть уравнения:$15 \cdot h_a = 240$

Теперь найдем неизвестную высоту $h_a$:$h_a = \frac{240}{15}$$h_a = 16$ см.

Таким образом, расстояние между меньшими сторонами параллелограмма составляет 16 см.

Ответ: 16 см.

145. Периметр параллелограмма равен 44 см, а его высоты — 5 см и 6 см. Найдите стороны параллелограмма.

145. Периметр параллелограмма равен 44 см, а его высоты — 5 см и 6 см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, периметр равен 44 см, следовательно:
$2(a+b) = 44$
$a+b = 22$ см.

Пусть высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно. Площадь параллелограмма $S$ можно найти двумя способами:
$S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$.
Отсюда следует, что $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота. Пусть $a > b$. Тогда к большей стороне $a$ проведена меньшая высота $h_a = 5$ см, а к меньшей стороне $b$ проведена большая высота $h_b = 6$ см.
Подставим значения высот в равенство:
$a \cdot 5 = b \cdot 6$

Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a+b = 22$
2) $5a = 6b$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 22 - b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(22 - b) = 6b$
$110 - 5b = 6b$
$110 = 11b$
$b = \frac{110}{11}$
$b = 10$ см.

Теперь найдем вторую сторону $a$:
$a = 22 - b = 22 - 10 = 12$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 12 см и 10 см.
Ответ: 12 см и 10 см.

146. Основания трапеции равны 6 см и 14 см, а одна из диагоналей — 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

146. Основания трапеции равны 6 см и 14 см, а одна из диагоналей — 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

Пусть дана трапеция, основания которой равны 6 см и 14 см. Обозначим трапецию как ABCD, где BC и AD — основания, $BC = 6$ см и $AD = 14$ см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, одна из диагоналей равна 20 см. Пусть это будет диагональ AC, то есть $AC = 20$ см. Необходимо найти длины отрезков AO и OC, на которые точка O делит диагональ AC.

Рассмотрим два треугольника, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей: $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Так как BC и AD являются основаниями трапеции, они параллельны ($BC \parallel AD$).

• Угол $\angle OCB$ и угол $\angle OAD$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
• Угол $\angle OBC$ и угол $\angle ODA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований:
$k = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

Отношение других соответственных сторон также равно коэффициенту подобия:
$\frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{7}$

Это означает, что точка O делит диагональ AC в отношении 3 к 7. Мы можем представить длины отрезков OC и OA как $3x$ и $7x$ соответственно, где $x$ — некоторая общая мера длины.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали AC:
$OC + OA = AC$
$3x + 7x = 20$
$10x = 20$
$x = \frac{20}{10} = 2$ см

Теперь мы можем найти длины искомых отрезков:
Длина первого отрезка: $OC = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Длина второго отрезка: $OA = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 6 см и 14 см.

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $M$ — точка пересечения диагоналей, $BM : MD = 1 : 3$. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см.

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $M$ — точка пересечения диагоналей, $BM : MD = 1 : 3$. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $BC \parallel AD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Отношение отрезков диагонали $BM : MD = 1 : 3$. Средняя линия трапеции равна 8 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle DMA$, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей.

1. Угол $\angle BMC$ равен углу $\angle DMA$ (как вертикальные углы).
2. Угол $\angle CBM$ равен углу $\angle ADM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольник $\triangle BMC$ подобен треугольнику $\triangle DMA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. В данном случае, отношение оснований трапеции равно отношению соответственных отрезков диагоналей: $$ \frac{BC}{AD} = \frac{BM}{MD} $$ По условию задачи $BM : MD = 1 : 3$, значит: $$ \frac{BC}{AD} = \frac{1}{3} $$ Из этого соотношения выразим одно основание через другое: $AD = 3 \cdot BC$. Поскольку $BC$ и $AD$ — длины, они положительны, и из равенства следует, что $AD > BC$. Значит, $BC$ — меньшее основание трапеции.

Средняя линия трапеции $(L)$ равна полусумме ее оснований: $$ L = \frac{BC + AD}{2} $$ По условию $L = 8$ см. Подставим в формулу известные данные и выражение для $AD$: $$ 8 = \frac{BC + 3 \cdot BC}{2} $$ Решим полученное уравнение: $$ 8 = \frac{4 \cdot BC}{2} $$ $$ 8 = 2 \cdot BC $$ $$ BC = \frac{8}{2} $$ $$ BC = 4 \text{ см} $$

Меньшее основание трапеции равно 4 см.

Ответ: 4 см.

148. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle CAK = \angle ABC$, $CK = 4 \text{ см}$, $KB = 5 \text{ см}$. Найдите сторону $AC$.

148. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle CAK = \angle ABC$, $CK = 4$ см, $KB = 5$ см. Найдите сторону $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KAC$.

В этих треугольниках:

• $\angle C$ — общий.
• $\angle ABC = \angle KAC$ — по условию задачи.

Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $KAC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle KAC$) следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{CK}$

Отсюда можно выразить $AC$ через произведение сторон:

$AC^2 = BC \cdot CK$

Найдём длину стороны $BC$. По условию, точка $K$ лежит на стороне $BC$, значит, длина всей стороны равна сумме длин её частей:

$BC = CK + KB = 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в формулу, полученную из подобия:

$AC^2 = 9 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$

Чтобы найти длину $AC$, извлечём квадратный корень:

$AC = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

149. Хорды $PN$ и $SF$ окружности пересекаются в точке $M$. Найдите отрезок $MN$, если $PM = 6$ см, $SM = 8$ см, $FM = 9$ см.

149. Хорды $PN$ и $SF$ окружности пересекаются в точке $M$.

Найдите отрезок $MN$, если $PM = 6$ см, $SM = 8$ см, $FM = 9$ см.

Для решения задачи используется свойство пересекающихся хорд в окружности. Теорема гласит, что если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Для хорд $PN$ и $SF$, пересекающихся в точке $M$, это свойство можно записать в виде следующей формулы:

$PM \cdot MN = SM \cdot FM$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

$PM = 6$ см
$SM = 8$ см
$FM = 9$ см

Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно неизвестной длины отрезка $MN$:

$6 \cdot MN = 8 \cdot 9$

Выполним вычисление в правой части уравнения:

$6 \cdot MN = 72$

Теперь, чтобы найти $MN$, разделим обе части уравнения на 6:

$MN = \frac{72}{6}$

$MN = 12$ см

Ответ: 12 см.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E$, $AE = 4$ см, $BE = 9$ см, а отрезок $CE$ в 4 раза меньше отрезка $DE$. Найдите отрезки $CE$ и $DE$.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E$, $AE = 4$ см, $BE = 9$ см, а отрезок $CE$ в 4 раза меньше отрезка $DE$. Найдите отрезки $CE$ и $DE$.

Для решения этой задачи используется свойство пересекающихся хорд в окружности. Согласно этому свойству, произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Тогда справедливо равенство:

$AE \cdot BE = CE \cdot DE$

По условию задачи нам даны следующие значения:

• $AE = 4$ см
• $BE = 9$ см
• Отрезок $CE$ в 4 раза меньше отрезка $DE$. Обозначим длину отрезка $CE$ как $x$. Тогда длина отрезка $DE$ будет равна $4x$.

Теперь подставим все известные значения и переменные в формулу:

$4 \cdot 9 = x \cdot 4x$

$36 = 4x^2$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{36}{4}$

$x^2 = 9$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из 9. Поскольку длина отрезка может быть только положительным числом, выбираем положительный корень:

$x = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, мы нашли длину отрезка $CE$:

$CE = x = 3$ см.

Теперь найдем длину отрезка $DE$, которая в 4 раза больше длины $CE$:

$DE = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Проверим правильность решения: $AE \cdot BE = 4 \cdot 9 = 36$. $CE \cdot DE = 3 \cdot 12 = 36$. Равенство $36 = 36$ выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $CE = 3$ см, $DE = 12$ см.

151. Точка $P$ удалена на 12 см от центра окружности радиуса 15 см. Через точку $P$ проведена хорда длиной 18 см. Найдите отрезки, на которые точка $P$ делит эту хорду.

151. Точка P удалена на 12 см от центра окружности радиуса 15 см. Через точку P проведена хорда длиной 18 см. Найдите отрезки, на которые точка P делит эту хорду.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — ее радиус, $AB$ — данная хорда, а $P$ — точка на этой хорде.

По условию задачи имеем:

• Радиус окружности $R = 15$ см.
• Расстояние от центра до точки $P$: $OP = 12$ см.
• Длина хорды $AB = 18$ см.

Для решения задачи найдем расстояние от центра окружности до хорды $AB$. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$.

Свойства перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде:

1. Он делит хорду пополам. Следовательно, $AM = MB = \frac{AB}{2}$.
2. Треугольник $\triangle OMA$ является прямоугольным, где $OA$ — гипотенуза (равна радиусу), а $OM$ и $AM$ — катеты.

1. Найдем половину длины хорды:

$AM = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора $OA^2 = OM^2 + AM^2$. Выразим отсюда расстояние $OM$ от центра до хорды:

$OM^2 = OA^2 - AM^2$

$OM^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$OM = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Сравним полученное расстояние $OM$ с расстоянием $OP$, данным в условии. Мы видим, что $OM = 12$ см и $OP = 12$ см. Это означает, что точка $P$ совпадает с точкой $M$ — основанием перпендикуляра, опущенного из центра на хорду.

Поскольку перпендикуляр из центра делит хорду пополам, точка $P$ является серединой хорды $AB$.

4. Найдем отрезки, на которые точка $P$ делит хорду:

$AP = PB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: точка $P$ делит хорду на два отрезка длиной 9 см и 9 см.