Страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Большее основание трапеции равно 16 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $E$ и $F$. Найдите меньшее основание трапеции, если $EF=3$ см.

122. Большее основание трапеции равно 16 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках E и F. Найдите меньшее основание трапеции, если $EF = 3$ см.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания. Пусть AD — большее основание, а BC — меньшее. По условию, $AD = 16$ см.

Пусть KL — средняя линия трапеции, где K — середина боковой стороны AB, а L — середина боковой стороны CD. Диагонали AC и BD пересекают среднюю линию KL в точках E и F соответственно. По условию задачи, $EF = 3$ см.

Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок KF является частью средней линии трапеции KL. Так как K — середина стороны AB и $KL \parallel AD$ (по свойству средней линии трапеции), то KF является средней линией треугольника ABD.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины основания, которому она параллельна. Следовательно:
$KF = \frac{1}{2} AD = \frac{16}{2} = 8$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KE является частью средней линии трапеции KL. Так как K — середина стороны AB и $KL \parallel BC$, то KE является средней линией треугольника ABC.

Следовательно, ее длина равна половине длины основания BC:
$KE = \frac{1}{2} BC$.

Точки K, E, F лежат на одной прямой — средней линии трапеции. Поскольку AD > BC, то и $KF > KE$, значит точка E лежит между K и F. Длина отрезка EF может быть найдена как разность длин отрезков KF и KE:
$EF = KF - KE$.

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:
$3 = 8 - \frac{1}{2} BC$.

Теперь решим полученное уравнение относительно BC:
$\frac{1}{2} BC = 8 - 3$
$\frac{1}{2} BC = 5$
$BC = 5 \cdot 2$
$BC = 10$ см.

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 10 см.

Ответ: 10 см.

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Наименьший и наибольший отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 9 см и 11 см. Найдите основания трапеции.

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Наименьший и наибольший отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 9 см и 11 см. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причем $a$ > $b$. Боковая сторона разделена на 4 равных отрезка. Прямые, проведенные через точки деления параллельно основаниям, делят и вторую боковую сторону также на 4 равных отрезка (по теореме Фалеса).

Длины отрезков, параллельных основаниям трапеции и равноотстоящих друг от друга, образуют арифметическую прогрессию. В данном случае у нас есть 5 таких отрезков: меньшее основание $b$, три промежуточных отрезка $l_1$, $l_2$, $l_3$ и большее основание $a$.

Таким образом, последовательность $b, l_1, l_2, l_3, a$ является арифметической прогрессией.

По условию, наименьший и наибольший из *внутренних* отрезков равны 9 см и 11 см. Так как отрезки расположены в порядке возрастания длины от меньшего основания к большему, мы имеем:

$l_1 = 9$ см

$l_3 = 11$ см

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии. Тогда члены прогрессии можно выразить через первый член $b$ и разность $d$:

• $l_1 = b + d = 9$
• $l_2 = b + 2d$
• $l_3 = b + 3d = 11$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $d$:

$\{ \begin{array}{l} b + d = 9 \\ b + 3d = 11 \end{array} \}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(b + 3d) - (b + d) = 11 - 9$

$2d = 2$

$d = 1$

Теперь, зная разность прогрессии, найдем меньшее основание $b$ из первого уравнения:

$b + 1 = 9$

$b = 8$ см

Большее основание $a$ является пятым членом нашей арифметической прогрессии:

$a = b + 4d$

$a = 8 + 4 \cdot 1 = 12$ см

Таким образом, основания трапеции равны 8 см и 12 см.

Ответ: 8 см и 12 см.

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наибольший из этих отрезков на 5 см меньше стороны $AC$.

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наибольший из этих отрезков на 5 см меньше стороны $AC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $B$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной прямой в указанном порядке, и $BD = DE = EC$. Через точки $D$ и $E$ проведены прямые, параллельные стороне $AC$, которые пересекают сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $MD$ и $NE$.

Решение:

1. Рассмотрим $\triangle BNE$ и $\triangle BAC$.

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BNE = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $NE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, $\triangle BNE \sim \triangle BAC$ по двум углам.

2. Аналогично рассмотрим $\triangle BMD$ и $\triangle BAC$.

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BMD = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MD$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, $\triangle BMD \sim \triangle BAC$ по двум углам.

3. Из подобия треугольников следуют соотношения для их сторон:

$\frac{MD}{AC} = \frac{BD}{BC}$

$\frac{NE}{AC} = \frac{BE}{BC}$

4. По условию задачи, сторона $BC$ разделена на 3 равных отрезка. Обозначим длину одного такого отрезка за $x$, то есть $BD = DE = EC = x$. Тогда:

• $BD = x$
• $BE = BD + DE = x + x = 2x$
• $BC = BD + DE + EC = x + x + x = 3x$

5. Подставим эти значения в пропорции:

$\frac{MD}{AC} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \implies MD = \frac{1}{3} AC$

$\frac{NE}{AC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} \implies NE = \frac{2}{3} AC$

6. Сравнивая длины отрезков, видим, что $NE = \frac{2}{3} AC$ больше, чем $MD = \frac{1}{3} AC$. Следовательно, $NE$ является наибольшим из двух отрезков. По условию, этот отрезок на 5 см меньше стороны $AC$. Составим уравнение:

$NE = AC - 5$

Подставим найденное выражение для $NE$:

$\frac{2}{3} AC = AC - 5$

Перенесем слагаемые:

$AC - \frac{2}{3} AC = 5$

$\frac{1}{3} AC = 5$

$AC = 5 \cdot 3 = 15$ см.

7. Теперь найдем длины искомых отрезков:

$MD = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ см.

$NE = \frac{2}{3} AC = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Проверка: наибольший отрезок $NE = 10$ см. Сторона $AC = 15$ см. $15 - 10 = 5$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: 5 см и 10 см.

125. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка $M$ пересечения медиан удалена от основания на 3 см. Найдите медиану треугольника $ABC$, проведённую к основанию.

125. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка $M$ пересечения медиан удалена от основания на 3 см. Найдите медиану треугольника $ABC$, проведённую к основанию.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ ($AB = BC$) проведена медиана $BH$ к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BH$ перпендикулярен основанию $AC$.

Точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка всегда лежит на каждой из медиан, в том числе и на медиане $BH$. Расстояние от точки $M$ до основания $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Поскольку $BH \perp AC$, этим перпендикуляром является отрезок $MH$. По условию задачи, длина этого отрезка составляет 3 см, то есть $MH = 3$ см.

Согласно свойству точки пересечения медиан (центроида) треугольника, она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BH$ это свойство записывается как соотношение: $BM : MH = 2 : 1$

Используя известную длину отрезка $MH$, мы можем вычислить длину отрезка $BM$: $BM = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Полная длина медианы $BH$ равна сумме длин её частей $BM$ и $MH$: $BH = BM + MH = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.

126. В прямоугольном треугольнике ABC ($ \angle C = 90^\circ $) медианы пересекаются в точке M. Найдите отрезок CM, если $AB = 12$ см.

126. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медианы пересекаются в точке $M$. Найдите отрезок $CM$, если $AB = 12$ см.

Дано: треугольник $ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$, $M$ — точка пересечения медиан, $AB = 12$ см.

Найти: $CM$.

Решение:

1. Проведем медиану из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Обозначим точку пересечения медианы с гипотенузой как $N$. Таким образом, $CN$ — это медиана.

2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, длина медианы $CN$ вычисляется по формуле:
$CN = \frac{1}{2} AB$

Подставим известное значение длины гипотенузы $AB = 12$ см:
$CN = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ см.

3. Точка $M$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника. По свойству точки пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы $CN$ это свойство записывается как:
$CM : MN = 2 : 1$

Это означает, что отрезок $CM$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины медианы $CN$:
$CM = \frac{2}{3} CN$

4. Теперь мы можем найти длину отрезка $CM$, подставив вычисленное значение длины $CN$:
$CM = \frac{2}{3} \times 6 = \frac{12}{3} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка пересечения медиан удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника $ABC$ до основания.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ точка пересечения медиан удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника $ABC$ до основания.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BM$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BM \perp AC$).

Точка пересечения медиан треугольника, назовем ее $O$, является его центроидом. Расстояние от этой точки до основания $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AC$. Поскольку точка $O$ лежит на высоте $BM$, это расстояние равно длине отрезка $OM$.

По условию задачи, $OM = 6$ см.

Согласно свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BM$ это означает, что $BO : OM = 2 : 1$.

Зная длину $OM$, мы можем найти длину отрезка $BO$:

$BO = 2 \cdot OM = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь мы можем найти полную длину медианы $BM$, которая также является высотой треугольника:

$BM = BO + OM = 12 + 6 = 18$ см.

Далее, нам нужно найти расстояние от середины боковой стороны до основания. Пусть точка $N$ — середина боковой стороны $BC$. Расстояние от точки $N$ до основания $AC$ — это длина перпендикуляра $NP$, проведенного из точки $N$ к прямой $AC$ (точка $P$ будет лежать на отрезке $MC$).

Рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике отрезок $NP$ соединяет середину стороны $BC$ (точку $N$) со стороной $CM$. Так как $NP \perp AC$ и $BM \perp AC$, то отрезки $NP$ и $BM$ параллельны ($NP \parallel BM$).

По теореме о средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то он является средней линией. Следовательно, $NP$ — средняя линия треугольника $BCM$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом:

$NP = \frac{1}{2} BM$

Подставим известное значение длины $BM$:

$NP = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

128. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BD$ и $CD$, если $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $BC = 11$ см;

2) сторону $AC$, если $BD : DC = 4 : 9$, $AB = 16$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AB + AC = 32$ см, $BD : DC = 5 : 3$.

128. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BD$ и $CD$, если $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $BC = 11$ см;

2) сторону $AC$, если $BD : DC = 4 : 9$, $AB = 16$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AB + AC = 32$ см, $BD : DC = 5 : 3$.

Во всех пунктах задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABC$ и его биссектрисы $AD$ это свойство выражается формулой:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

1) отрезки BD и CD, если AB = 10 см, AC = 12 см, BC = 11 см;

Пусть длина отрезка $BD$ равна $x$ см. Поскольку $BC = BD + CD$, то длина отрезка $CD$ будет равна $(11 - x)$ см.

Применим свойство биссектрисы и подставим известные значения:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

$ \frac{10}{12} = \frac{x}{11-x} $

Сократим дробь в левой части уравнения:

$ \frac{5}{6} = \frac{x}{11-x} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), решим уравнение:

$ 5 \cdot (11-x) = 6 \cdot x $

$ 55 - 5x = 6x $

$ 55 = 11x $

$ x = \frac{55}{11} = 5 $

Следовательно, длина отрезка $BD = 5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CD$:

$ CD = 11 - x = 11 - 5 = 6 $ см.

Ответ: $BD = 5$ см, $CD = 6$ см.

2) сторону AC, если BD : DC = 4 : 9, AB = 16 см;

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

Из условия известно, что $BD : DC = 4 : 9$, что означает $ \frac{BD}{CD} = \frac{4}{9} $. Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{16}{AC} = \frac{4}{9} $

Выразим $AC$ из данной пропорции:

$ AC = \frac{16 \cdot 9}{4} $

$ AC = 4 \cdot 9 = 36 $

Ответ: $AC = 36$ см.

3) стороны AB и AC, если AB + AC = 32 см, BD : DC = 5 : 3.

Снова применим свойство биссектрисы треугольника:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

Подставим в формулу известное из условия соотношение отрезков:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3} $

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую, например, $AB = \frac{5}{3} AC$.

Нам также дано, что $AB + AC = 32$. Подставим выражение для $AB$ в это уравнение:

$ \frac{5}{3} AC + AC = 32 $

Приведем к общему знаменателю:

$ (\frac{5}{3} + \frac{3}{3}) AC = 32 $

$ \frac{8}{3} AC = 32 $

Найдем $AC$:

$ AC = 32 \cdot \frac{3}{8} = 4 \cdot 3 = 12 $

Таким образом, длина стороны $AC = 12$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$:

$ AB = 32 - AC = 32 - 12 = 20 $

Ответ: $AB = 20$ см, $AC = 12$ см.

129. Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Окружность, центр которой принадлежит средней по длине стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

129. Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Окружность, центр которой принадлежит средней по длине стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

Пусть дан треугольник со сторонами, равными 12 см, 14 см и 16 см. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, так, чтобы стороны были $BC = 12$ см, $AC = 14$ см и $AB = 16$ см.

Средней по длине стороной является сторона $AC = 14$ см. По условию, центр окружности (назовем его точкой O) принадлежит стороне AC.

Окружность касается двух других сторон, AB и BC. Центр окружности, касающейся двух сторон угла, всегда лежит на биссектрисе этого угла. Так как окружность с центром в точке O касается сторон AB и BC, то точка O лежит на биссектрисе угла ∠ABC.

Следовательно, отрезок BO является биссектрисой угла B в треугольнике ABC, а точка O — это точка пересечения биссектрисы со стороной AC.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае: $ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} $

Подставим в эту формулу длины известных сторон: $ \frac{AO}{OC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $

Точка O делит сторону AC на два отрезка, AO и OC. Сумма их длин равна длине всей стороны AC: $ AO + OC = 14 $ см.

Пусть длина отрезка $AO = x$ см. Тогда длина отрезка $OC = 14 - x$ см. Подставим эти выражения в нашу пропорцию: $ \frac{x}{14 - x} = \frac{4}{3} $

Решим полученное уравнение: $ 3 \cdot x = 4 \cdot (14 - x) $ $ 3x = 56 - 4x $ $ 3x + 4x = 56 $ $ 7x = 56 $ $ x = \frac{56}{7} $ $ x = 8 $

Таким образом, длина отрезка $AO = 8$ см. Длина второго отрезка $OC = 14 - 8 = 6$ см.

Центр окружности делит среднюю сторону треугольника на отрезки длиной 8 см и 6 см.

Ответ: 8 см и 6 см.

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $BC = 11$ см, $AC = 5$ см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $CK$?

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 11 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $CK$?

Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности (инцентр). По определению, инцентр является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе $CK$. Задача состоит в том, чтобы найти отношение $CI : IK$.

Рассмотрим треугольник $ACK$. Поскольку $I$ — это инцентр треугольника $ABC$, луч $AI$ является биссектрисой угла $A$. Таким образом, в треугольнике $ACK$ отрезок $AI$ является биссектрисой угла $CAK$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применим это свойство к треугольнику $ACK$ и его биссектрисе $AI$: $$ \frac{CI}{IK} = \frac{AC}{AK} $$

Чтобы найти это отношение, нам необходимо вычислить длину отрезка $AK$. Для этого воспользуемся свойством биссектрисы $CK$ в исходном треугольнике $ABC$. Биссектриса $CK$ делит сторону $AB$ на отрезки $AK$ и $KB$ пропорционально прилежащим сторонам $AC$ и $BC$: $$ \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} $$

Из условия задачи нам даны длины сторон: $AC = 5$ см, $BC = 11$ см и $AB = 8$ см. Подставим эти значения в пропорцию: $$ \frac{AK}{KB} = \frac{5}{11} $$ Мы также знаем, что $AK + KB = AB = 8$ см. Из этого равенства выразим $KB$: $KB = 8 - AK$.

Подставим выражение для $KB$ в пропорцию: $$ \frac{AK}{8 - AK} = \frac{5}{11} $$ Решим полученное уравнение относительно $AK$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 11 \cdot AK = 5 \cdot (8 - AK) $$ $$ 11 \cdot AK = 40 - 5 \cdot AK $$ $$ 11 \cdot AK + 5 \cdot AK = 40 $$ $$ 16 \cdot AK = 40 $$ $$ AK = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см} $$

Теперь, когда мы нашли длину $AK$, мы можем вычислить искомое отношение $CI:IK$: $$ \frac{CI}{IK} = \frac{AC}{AK} = \frac{5}{2.5} = 2 $$ Это означает, что отрезок $CI$ в два раза длиннее отрезка $IK$, и их отношение равно $2:1$.

Ответ: $2:1$, считая от вершины $C$.