Номер 123, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Наименьший и наибольший отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 9 см и 11 см. Найдите основания трапеции.

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Наименьший и наибольший отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 9 см и 11 см. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причем $a$ > $b$. Боковая сторона разделена на 4 равных отрезка. Прямые, проведенные через точки деления параллельно основаниям, делят и вторую боковую сторону также на 4 равных отрезка (по теореме Фалеса).

Длины отрезков, параллельных основаниям трапеции и равноотстоящих друг от друга, образуют арифметическую прогрессию. В данном случае у нас есть 5 таких отрезков: меньшее основание $b$, три промежуточных отрезка $l_1$, $l_2$, $l_3$ и большее основание $a$.

Таким образом, последовательность $b, l_1, l_2, l_3, a$ является арифметической прогрессией.

По условию, наименьший и наибольший из *внутренних* отрезков равны 9 см и 11 см. Так как отрезки расположены в порядке возрастания длины от меньшего основания к большему, мы имеем:

$l_1 = 9$ см

$l_3 = 11$ см

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии. Тогда члены прогрессии можно выразить через первый член $b$ и разность $d$:

• $l_1 = b + d = 9$
• $l_2 = b + 2d$
• $l_3 = b + 3d = 11$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $d$:

$\{ \begin{array}{l} b + d = 9 \\ b + 3d = 11 \end{array} \}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(b + 3d) - (b + d) = 11 - 9$

$2d = 2$

$d = 1$

Теперь, зная разность прогрессии, найдем меньшее основание $b$ из первого уравнения:

$b + 1 = 9$

$b = 8$ см

Большее основание $a$ является пятым членом нашей арифметической прогрессии:

$a = b + 4d$

$a = 8 + 4 \cdot 1 = 12$ см

Таким образом, основания трапеции равны 8 см и 12 см.

Ответ: 8 см и 12 см.