Номер 119, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Через точку $M$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $N$. Найдите сторону $AB$, если $MN = 8$ см.

119. Через точку $M$ – середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ – проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $N$. Найдите сторону $AB$, если $MN = 8$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через точку $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть точка $E$ — это точка пересечения этой прямой с основанием $AD$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По построению $CE \parallel AB$. Так как $ABCD$ — трапеция, то ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит и $BC \parallel AE$, поскольку точка $E$ лежит на прямой $AD$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle DEC$. По условию, точка $M$ — середина стороны $CD$. Также по условию $MN \parallel AB$. Из нашего построения следует, что $CE \parallel AB$. По свойству транзитивности параллельных прямых, если $MN \parallel AB$ и $CE \parallel AB$, то $MN \parallel CE$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle DEC$ отрезок $MN$ проходит через середину стороны $CD$ и параллелен стороне $CE$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, проходящий через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией этого треугольника. Следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $\triangle DEC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит:

$MN = \frac{1}{2} CE$

Из условия задачи нам известно, что $MN = 8$ см. Подставим это значение в формулу:

$8 = \frac{1}{2} CE$

Отсюда находим длину $CE$:

$CE = 2 \times 8 = 16$ см.

Так как ранее мы доказали, что $AB = CE$, то $AB = 16$ см.

Ответ: 16 см.