Номер 115, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают стороны угла $KND$ (рис. 101). Найдите отрезки $NA$ и $AC$, если $NA_1 = 5$ см, $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 3$ см.

115. Параллельные прямые a, b

и с пересекают стороны угла KND (рис. 101). Найдите отрезки NA и AC, если $NA_1 = 5$ см, $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 3$ см.

Рис. 101

Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые ($a \parallel b \parallel c$) пересекают стороны угла ($KND$), то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Для данной задачи это означает, что выполняется следующее соотношение:

$ \frac{NA}{NA_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $

Используем это свойство для нахождения неизвестных отрезков $NA$ и $AC$.

Найти NA

Воспользуемся первой частью пропорции: $ \frac{NA}{NA_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $.
Подставим известные значения из условия задачи: $NA_1 = 5$ см, $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см.

$ \frac{NA}{5} = \frac{8}{6} $

Выразим $NA$ из этой пропорции:

$ NA = \frac{8 \cdot 5}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} $ см.

Ответ: $NA = 6 \frac{2}{3}$ см.

Найти AC

Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AB$ и $BC$, то есть $AC = AB + BC$.
Длина отрезка $AB$ известна ($AB = 8$ см). Чтобы найти $AC$, нам нужно сначала найти длину отрезка $BC$.

Для нахождения $BC$ воспользуемся второй частью пропорции: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $.
Подставим известные значения: $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 3$ см.

$ \frac{8}{6} = \frac{BC}{3} $

Выразим $BC$ из этой пропорции:

$ BC = \frac{8 \cdot 3}{6} = \frac{24}{6} = 4 $ см.

Теперь, зная $BC$, мы можем найти длину отрезка $AC$:

$ AC = AB + BC = 8 + 4 = 12 $ см.

Ответ: $AC = 12$ см.