Страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $26^\circ$. Найдите углы трапеции.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $26^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, вписанная в окружность, где AD — большее основание, а BC — меньшее.

Поскольку центр описанной окружности O лежит на большем основании AD, то AD является диаметром этой окружности.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, треугольники ABD и ACD, образованные диагоналями и основанием, являются прямоугольными: $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Согласно условию, угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, CD), равен $26^\circ$. Таким образом, $\angle CED = 26^\circ$.

В равнобокой трапеции треугольник, образованный большим основанием и отрезками диагоналей (треугольник ADE), является равнобедренным, так как отрезки диагоналей от вершин до точки пересечения равны (AE = DE). Следовательно, углы при основании этого треугольника равны: $\angle EAD = \angle EDA$. Обозначим эти углы как $x$.

Углы $\angle AED$ и $\angle CED$ — смежные, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Найдем $\angle AED$:
$\angle AED = 180^\circ - \angle CED = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике ADE:
$\angle EAD + \angle EDA + \angle AED = 180^\circ$
$x + x + 154^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 154^\circ$
$2x = 26^\circ$
$x = 13^\circ$.

Итак, мы нашли, что $\angle EDA$, который также является углом $\angle BDA$, равен $13^\circ$.

Теперь определим углы трапеции. Из прямоугольного треугольника ABD (где $\angle ABD = 90^\circ$) найдем угол при большем основании $\angle DAB$:
$\angle DAB = 90^\circ - \angle BDA = 90^\circ - 13^\circ = 77^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Углы при большем основании:
$\angle CDA = \angle DAB = 77^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Углы при меньшем основании:
$\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$.

Ответ: 77°, 103°, 103°, 77°.

107. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите сторону $BC$, если $AB = 7$ см, $CD = 10$ см, $AD = 12$ см.

107. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите сторону $BC$, если $AB = 7$ см, $CD = 10$ см, $AD = 12$ см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством описанного четырёхугольника, также известным как теорема Пито. Эта теорема гласит, что если в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Для четырёхугольника $ABCD$ это свойство можно записать в виде следующей формулы:$AB + CD = BC + AD$

Согласно условию задачи, нам известны длины трёх сторон:$AB = 7$ см$CD = 10$ см$AD = 12$ см

Подставим эти значения в уравнение:$7 + 10 = BC + 12$

Вычислим сумму в левой части уравнения:$17 = BC + 12$

Чтобы найти длину стороны $BC$, вычтем 12 из обеих частей уравнения:$BC = 17 - 12$$BC = 5$ см

Ответ: 5 см.

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник ABCD, если:

1) $AB = 6$ см, $BC = 10$ см, $CD = 11$ см, $AD = 7$ см;

2) $AB = 10$ см, $BC = 14$ см, $CD = 16$ см, $AD = 11$ см?

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $ABCD$, если:

1) $AB = 6 \text{ см}, BC = 10 \text{ см}, CD = 11 \text{ см}, AD = 7 \text{ см};$

2) $AB = 10 \text{ см}, BC = 14 \text{ см}, CD = 16 \text{ см}, AD = 11 \text{ см}$?

Для того чтобы определить, можно ли вписать окружность в четырехугольник, необходимо воспользоваться свойством описанного четырехугольника (теоремой Пито). Согласно этой теореме, в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Для четырехугольника ABCD это условие выглядит так:

$AB + CD = BC + AD$

Проверим выполнение этого условия для каждого из предложенных случаев.

1)

Имеем четырехугольник со сторонами $AB = 6$ см, $BC = 10$ см, $CD = 11$ см, $AD = 7$ см.

Найдем сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:

$AB + CD = 6 + 11 = 17$ см.

Теперь найдем сумму длин противолежащих сторон $BC$ и $AD$:

$BC + AD = 10 + 7 = 17$ см.

Сравним полученные суммы: $17 = 17$. Поскольку суммы длин противолежащих сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Ответ: да, можно.

2)

Имеем четырехугольник со сторонами $AB = 10$ см, $BC = 14$ см, $CD = 16$ см, $AD = 11$ см.

Найдем сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:

$AB + CD = 10 + 16 = 26$ см.

Теперь найдем сумму длин противолежащих сторон $BC$ и $AD$:

$BC + AD = 14 + 11 = 25$ см.

Сравним полученные суммы: $26 \neq 25$. Поскольку суммы длин противолежащих сторон не равны, в этот четырехугольник нельзя вписать окружность.

Ответ: нет, нельзя.

109. Боковая сторона равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 12 см. Найдите периметр трапеции.

109. Боковая сторона равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 12 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, её боковые стороны равны $c$, а основания равны $a$ и $b$. Периметр трапеции $P$ вычисляется как сумма длин всех её сторон: $P = a + b + c + c$.
По условию, трапеция является равнобокой, и её боковая сторона равна 12 см. Значит, обе боковые стороны равны 12 см.
$c = 12$ см.
Также по условию, в эту трапецию можно вписать окружность. Это возможно только для тех четырехугольников, у которых суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции это свойство записывается так: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
$a + b = c + c = 2c$
Подставим известное значение боковой стороны $c$:
$a + b = 12 + 12 = 24$ см.
Теперь найдём периметр трапеции, подставив в формулу периметра известные нам суммы сторон:
$P = (a + b) + (c + c)$
$P = 24 + 24 = 48$ см.
Таким образом, периметр трапеции равен 48 см.
Ответ: 48 см.

110. Средняя линия трапеции равна 12 см, а периметр — 48 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

110. Средняя линия трапеции равна 12 см, а периметр — 48 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Для того чтобы доказать, что в трапецию можно вписать окружность, необходимо воспользоваться свойством описанного четырёхугольника: окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма её оснований должна быть равна сумме её боковых сторон.

Пусть `a` и `b` — основания трапеции, а `c` и `d` — её боковые стороны.

1. Найдём сумму оснований трапеции.Средняя линия трапеции `m` вычисляется по формуле: `$m = \frac{a+b}{2}$`.По условию `m = 12` см. Выразим из формулы сумму оснований:`$a+b = 2 \cdot m$``$a+b = 2 \cdot 12 = 24$` см.

2. Найдём сумму боковых сторон трапеции.Периметр трапеции `P` — это сумма длин всех её сторон: `$P = a+b+c+d$`.По условию `P = 48` см. Мы уже вычислили, что `$a+b = 24$` см. Подставим известные значения в формулу периметра:`$48 = 24 + c+d$`Выразим сумму боковых сторон:`$c+d = 48 - 24 = 24$` см.

3. Сравним суммы противолежащих сторон.Сумма оснований: `$a+b = 24$` см.Сумма боковых сторон: `$c+d = 24$` см.

Поскольку сумма оснований равна сумме боковых сторон (`$a+b = c+d$`), условие для вписанной окружности выполняется. Следовательно, в данную трапецию можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В трапецию можно вписать окружность, так как сумма её оснований (24 см) равна сумме её боковых сторон (24 см).

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD$.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность (описанный четырехугольник), суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции $ABCD$ это свойство выглядит так:

$AD + BC = AB + CD$

Периметр трапеции $P$ равен 56 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

$P = AD + BC + AB + CD = 56$ см

Используя свойство описанного четырехугольника, мы можем заменить сумму боковых сторон на сумму оснований:

$P = (AD + BC) + (AD + BC) = 2(AD + BC) = 56$ см

Отсюда находим сумму оснований:

$AD + BC = \frac{56}{2} = 28$ см

Так как $AD + BC = AB + CD$, то и сумма боковых сторон также равна 28 см:

$AB + CD = 28$ см

Поскольку трапеция равнобокая ($AB = CD$), то $2 \cdot CD = 28$ см. Следовательно, длина каждой боковой стороны равна:

$CD = \frac{28}{2} = 14$ см

По условию, точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на два отрезка, один из которых равен 5 см. Пусть точка $K$ — точка касания на стороне $CD$. Тогда $CD$ делится на отрезки $CK$ и $KD$. Если один из отрезков равен 5 см, то второй равен:

$14 \text{ см} - 5 \text{ см} = 9$ см

Таким образом, боковая сторона делится на отрезки длиной 5 см и 9 см.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной вершины, отрезки касательных от этой вершины до точек касания равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $L$ соответственно. Тогда:

$CK = CM$

$DK = DL$

В равнобокой трапеции точки касания на основаниях являются их серединами. Это означает, что $BC = 2 \cdot CM$ и $AD = 2 \cdot DL$.

Подставив предыдущие равенства, получаем:

$BC = 2 \cdot CK$

$AD = 2 \cdot DK$

Меньший из отрезков ($CK$ или $DK$) прилегает к меньшему основанию, а больший — к большему. Пусть $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее. Тогда отрезок, прилегающий к вершине $C$ (на меньшем основании), равен 5 см, а отрезок, прилегающий к вершине $D$ (на большем основании), равен 9 см.

$CK = 5$ см

$DK = 9$ см

Теперь находим длины оснований:

Меньшее основание: $BC = 2 \cdot 5 = 10$ см

Большее основание: $AD = 2 \cdot 9 = 18$ см

Проверим: сумма оснований $10 + 18 = 28$ см, сумма боковых сторон $14 + 14 = 28$ см. Периметр $28 + 28 = 56$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: основания трапеции равны 10 см и 18 см.

112. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 14 см, а средняя линия этой трапеции равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

112. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 14 см, а средняя линия этой трапеции равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$. Поскольку трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон является высотой $h$. Пусть это будет сторона $c$, тогда $c = h$. Другая боковая сторона, $d$, будет большей.

По условию задачи нам даны:
Большая боковая сторона $d = 14$ см.
Средняя линия трапеции $m = 10$ см.

Формула средней линии трапеции:
$m = \frac{a+b}{2}$
Используя эту формулу, найдем сумму оснований трапеции:
$a+b = 2 \cdot m = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Одним из свойств четырехугольника, в который можно вписать окружность, является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это свойство записывается так:
$a+b = c+d$

Мы знаем, что $a+b = 20$ см и $d=14$ см. Меньшая боковая сторона $c$ является высотой трапеции $h$. Подставим известные значения в равенство:
$20 = h + 14$
Отсюда находим высоту трапеции:
$h = 20 - 14 = 6$ см.

Для трапеции, в которую вписана окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности ($h=2r$, где $r$ - радиус).
Следовательно, диаметр окружности равен 6 см.
Найдем радиус:
$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

113. Начертите произвольный отрезок $CD$ и постройте на нём точку $E$ такую, что $CE : ED = 5 : 2$.

113. Начертите произвольный отрезок CD и постройте на нём точку E такую, что $CE : ED = 5 : 2$.

Для того чтобы на произвольном отрезке $CD$ построить точку $E$, которая делит его в отношении $CE : ED = 5 : 2$, необходимо выполнить построение с помощью циркуля и линейки, основываясь на теореме Фалеса.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный отрезок $CD$.

2. Из точки $C$ проведите произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $CD$.

3. С помощью циркуля отложите на луче $l$, начиная от точки $C$, $7$ ($5 + 2 = 7$) равных друг другу отрезков. Для этого выберите произвольный, но постоянный раствор циркуля. Обозначим полученные точки $P_1, P_2, \dots, P_7$ так, что $CP_1 = P_1P_2 = \dots = P_6P_7$.

4. Соедините последнюю точку $P_7$ на луче с точкой $D$ (другим концом исходного отрезка). Вы получите отрезок $P_7D$.

5. Через точку $P_5$ (пятую точку от начала луча, так как отношение начинается с числа 5) проведите прямую, параллельную отрезку $P_7D$.

6. Точка, в которой эта параллельная прямая пересечет отрезок $CD$, и будет искомой точкой $E$.

Обоснование:

Рассмотрим угол, образованный лучом $l$ и прямой $CD$. По нашему построению прямые $P_5E$ и $P_7D$ параллельны. Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на них пропорциональные отрезки. Таким образом, справедливо соотношение:

$\frac{CE}{ED} = \frac{CP_5}{P_5P_7}$

По построению, длина отрезка $CP_5$ состоит из 5 равных частей, а длина отрезка $P_5P_7$ — из 2 таких же частей ($P_5P_6+P_6P_7$). Следовательно:

$\frac{CP_5}{P_5P_7} = \frac{5}{2}$

Отсюда следует, что $\frac{CE}{ED} = \frac{5}{2}$, или $CE : ED = 5 : 2$. Построение выполнено верно.

Ответ: Искомая точка $E$, делящая отрезок $CD$ в отношении $CE:ED=5:2$, построена согласно приведённому выше алгоритму, основанному на теореме Фалеса.

114. Параллельные прямые $m$ и $n$ пересекают стороны угла $AMC$ (рис. 100). Найдите отрезок $PN$, если $MK = 2$ см, $KD = 4$ см, $MP = 3$ см.

Рис. 100

114. Параллельные прямые $m$ и $n$ пересекают стороны угла $AMC$ (рис. 100). Найдите отрезок $PN$, если $MK = 2$ см, $KD = 4$ см, $MP = 3$ см.

Рис. 100

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках). Согласно этой теореме, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

В нашем случае, параллельные прямые m и n пересекают стороны угла AMC. Это означает, что отношение отрезков, отсекаемых на стороне MA, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на стороне MC. Таким образом, мы можем составить следующую пропорцию:

$$ \frac{MK}{KD} = \frac{MP}{PN} $$

Из условия задачи нам известны следующие длины отрезков:

• $MK = 2$ см
• $KD = 4$ см
• $MP = 3$ см

Подставим эти значения в нашу пропорцию:

$$ \frac{2}{4} = \frac{3}{PN} $$

Упростим левую часть уравнения, сократив дробь:

$$ \frac{1}{2} = \frac{3}{PN} $$

Теперь, чтобы найти PN, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$$ 1 \cdot PN = 2 \cdot 3 $$

$$ PN = 6 $$

Следовательно, длина отрезка PN равна 6 см.

Ответ: 6 см.

115. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают стороны угла $KND$ (рис. 101). Найдите отрезки $NA$ и $AC$, если $NA_1 = 5$ см, $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 3$ см.

115. Параллельные прямые a, b

и с пересекают стороны угла KND (рис. 101). Найдите отрезки NA и AC, если $NA_1 = 5$ см, $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 3$ см.

Рис. 101

Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые ($a \parallel b \parallel c$) пересекают стороны угла ($KND$), то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Для данной задачи это означает, что выполняется следующее соотношение:

$ \frac{NA}{NA_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $

Используем это свойство для нахождения неизвестных отрезков $NA$ и $AC$.

Найти NA

Воспользуемся первой частью пропорции: $ \frac{NA}{NA_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $.
Подставим известные значения из условия задачи: $NA_1 = 5$ см, $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см.

$ \frac{NA}{5} = \frac{8}{6} $

Выразим $NA$ из этой пропорции:

$ NA = \frac{8 \cdot 5}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} $ см.

Ответ: $NA = 6 \frac{2}{3}$ см.

Найти AC

Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AB$ и $BC$, то есть $AC = AB + BC$.
Длина отрезка $AB$ известна ($AB = 8$ см). Чтобы найти $AC$, нам нужно сначала найти длину отрезка $BC$.

Для нахождения $BC$ воспользуемся второй частью пропорции: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $.
Подставим известные значения: $AB = 8$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 3$ см.

$ \frac{8}{6} = \frac{BC}{3} $

Выразим $BC$ из этой пропорции:

$ BC = \frac{8 \cdot 3}{6} = \frac{24}{6} = 4 $ см.

Теперь, зная $BC$, мы можем найти длину отрезка $AC$:

$ AC = AB + BC = 8 + 4 = 12 $ см.

Ответ: $AC = 12$ см.