Номер 106, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $26^\circ$. Найдите углы трапеции.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $26^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, вписанная в окружность, где AD — большее основание, а BC — меньшее.

Поскольку центр описанной окружности O лежит на большем основании AD, то AD является диаметром этой окружности.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, треугольники ABD и ACD, образованные диагоналями и основанием, являются прямоугольными: $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Согласно условию, угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, CD), равен $26^\circ$. Таким образом, $\angle CED = 26^\circ$.

В равнобокой трапеции треугольник, образованный большим основанием и отрезками диагоналей (треугольник ADE), является равнобедренным, так как отрезки диагоналей от вершин до точки пересечения равны (AE = DE). Следовательно, углы при основании этого треугольника равны: $\angle EAD = \angle EDA$. Обозначим эти углы как $x$.

Углы $\angle AED$ и $\angle CED$ — смежные, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Найдем $\angle AED$:
$\angle AED = 180^\circ - \angle CED = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике ADE:
$\angle EAD + \angle EDA + \angle AED = 180^\circ$
$x + x + 154^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 154^\circ$
$2x = 26^\circ$
$x = 13^\circ$.

Итак, мы нашли, что $\angle EDA$, который также является углом $\angle BDA$, равен $13^\circ$.

Теперь определим углы трапеции. Из прямоугольного треугольника ABD (где $\angle ABD = 90^\circ$) найдем угол при большем основании $\angle DAB$:
$\angle DAB = 90^\circ - \angle BDA = 90^\circ - 13^\circ = 77^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Углы при большем основании:
$\angle CDA = \angle DAB = 77^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Углы при меньшем основании:
$\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$.

Ответ: 77°, 103°, 103°, 77°.