Номер 104, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 124^\circ$, $\angle ADC = 56^\circ$, $\angle BAC = 32^\circ$, $\angle CAD = 54^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AB$.

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 124^\circ$, $\angle ADC = 56^\circ$, $\angle BAC = 32^\circ$, $\angle CAD = 54^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AB$.

Пусть диагонали четырёхугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Угол между диагоналями, противолежащий стороне $AB$, — это угол $\angle AOB$ в треугольнике $\triangle AOB$.

Сначала проверим, является ли данный четырёхугольник вписанным в окружность. Для этого найдём сумму его противоположных углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.
$\angle ABC + \angle ADC = 124^\circ + 56^\circ = 180^\circ$.
Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Следовательно, $ABCD$ — вписанный четырёхугольник.

Для нахождения искомого угла $\angle AOB$ воспользуемся свойством суммы углов треугольника $\triangle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA$.

Из условия нам известен угол $\angle OAB = \angle BAC = 32^\circ$.

Теперь найдём угол $\angle OBA = \angle DBA$. Во вписанном четырёхугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $\angle DBA$ опирается на дугу $AD$. На эту же дугу опирается угол $\angle DCA$. Значит, $\angle DBA = \angle DCA$.

Найдём величину угла $\angle DCA$ из треугольника $\triangle ADC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Нам известны два угла этого треугольника из условия: $\angle CAD = 54^\circ$ и $\angle ADC = 56^\circ$.
$\angle DCA = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^\circ - (54^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Следовательно, $\angle OBA = \angle DBA = \angle DCA = 70^\circ$.

Теперь мы можем вычислить искомый угол $\angle AOB$ в треугольнике $\triangle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 32^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Ответ: $78^\circ$.