Номер 98, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Через точку M окружности проведена касательная MP, не параллельная диаметру NK (рис. 98). Найдите углы треугольника MNK, если $\angle PMN = 130^\circ$.

Рис. 98

98. Через точку M окружности проведена касательная MP, не параллельная диаметру NK (рис. 98). Найдите углы треугольника MNK, если $ \angle PMN = 130^{\circ} $.

Рис. 98

Для нахождения углов треугольника MNK воспользуемся свойствами вписанных углов, свойством угла, опирающегося на диаметр, и теоремой об угле между касательной и хордой.

1. Найдем угол NMK

По условию задачи, отрезок NK является диаметром окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр, всегда прямой. Угол NMK вписан в окружность и опирается на диаметр NK. Следовательно, его величина составляет 90 градусов.

$\angle NMK = 90^\circ$

2. Найдем угол MKN

Угол $\angle PMN$, равный $130^\circ$, образован касательной MP и хордой MN. Этот угол является смежным с углом между касательной и хордой, который измеряется половиной дуги, заключенной внутри него. Обозначим точку Q на касательной так, что M лежит между Q и P. Тогда угол QMP — развернутый ($180^\circ$).

Найдем угол $\angle QMN$, смежный с углом $\angle PMN$:

$\angle QMN = 180^\circ - \angle PMN = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами. Также этот угол равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Угол $\angle QMN$ измеряется половиной дуги MN. Вписанный угол $\angle MKN$ опирается на ту же дугу MN. Следовательно, эти углы равны:

$\angle MKN = \angle QMN = 50^\circ$

3. Найдем угол MNK

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника MNK мы знаем два угла: $\angle NMK = 90^\circ$ и $\angle MKN = 50^\circ$. Теперь мы можем найти третий угол $\angle MNK$:

$\angle MNK + \angle MKN + \angle NMK = 180^\circ$

$\angle MNK + 50^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK + 140^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

Ответ: углы треугольника MNK равны $\angle NMK = 90^\circ$, $\angle MKN = 50^\circ$ и $\angle MNK = 40^\circ$.