Номер 103, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $C$ на $11^\circ$ больше угла $D$ и в 8 раз меньше угла $A$. Найдите углы четырёхугольника.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $C$ на $11^{\circ}$ больше угла $D$ и в 8 раз меньше угла $A$. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть углы четырехугольника ABCD обозначаются как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$.

По свойству четырехугольника, вписанного в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, справедливы следующие равенства:

1) $\angle A + \angle C = 180^\circ$

2) $\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи нам также известны соотношения между углами:

3) Угол C на $11^\circ$ больше угла D: $\angle C = \angle D + 11^\circ$

4) Угол C в 8 раз меньше угла A: $\angle A = 8 \cdot \angle C$

Для нахождения углов $\angle A$ и $\angle C$ воспользуемся уравнениями (1) и (4). Подставим выражение для $\angle A$ из уравнения (4) в уравнение (1):

$8 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$

$9 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$

Теперь, зная величину угла C, найдем угол A из уравнения (4):

$\angle A = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ$

Далее, используя уравнение (3) и найденное значение $\angle C$, найдем угол D:

$20^\circ = \angle D + 11^\circ$

$\angle D = 20^\circ - 11^\circ = 9^\circ$

Наконец, найдем угол B из уравнения (2), подставив в него значение угла D:

$\angle B + 9^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 9^\circ = 171^\circ$

Таким образом, углы четырехугольника равны: $\angle A = 160^\circ$, $\angle B = 171^\circ$, $\angle C = 20^\circ$ и $\angle D = 9^\circ$.

Ответ: $\angle A = 160^\circ$, $\angle B = 171^\circ$, $\angle C = 20^\circ$, $\angle D = 9^\circ$.