Номер 99, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $62^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $62^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC$ и углом при вершине $\angle B = 62^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании $AC$ равны:

$\angle A = \angle C = (180^\circ - 62^\circ) / 2 = 118^\circ / 2 = 59^\circ$.

На боковой стороне $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть эта полуокружность пересекает основание $AC$ в точке $D$ и другую боковую сторону $BC$ в точке $E$. Таким образом, полуокружность делится на три дуги: $AD$, $DE$ и $EB$. Найдём их градусные меры.

Рассмотрим дугу $AD$. Точки $A$, $D$, $B$ лежат на окружности, причём отрезок $AB$ является её диаметром. Угол $\angle ADB$ является вписанным и опирается на диаметр, следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ADB$ нам известен угол $\angle A = 59^\circ$. Тогда угол $\angle ABD$ равен:

$\angle ABD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

Угол $\angle ABD$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AD$. Градусная мера дуги вдвое больше величины вписанного угла, который на неё опирается. Таким образом, градусная мера дуги $AD$ равна:

$\text{◡}AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 31^\circ = 62^\circ$.

Теперь рассмотрим дугу $EB$. Точки $A$, $E$, $B$ также лежат на окружности с диаметром $AB$. Угол $\angle AEB$ вписанный и опирается на диаметр, следовательно, $\angle AEB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $AEB$ нам известен угол $\angle B = 62^\circ$. Тогда угол $\angle BAE$ равен:

$\angle BAE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$.

Угол $\angle BAE$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $EB$. Следовательно, градусная мера дуги $EB$ равна:

$\text{◡}EB = 2 \cdot \angle BAE = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$.

Вся полуокружность имеет градусную меру $180^\circ$. Она состоит из трёх дуг $AD$, $DE$ и $EB$. Сумма их градусных мер равна $180^\circ$. Найдём градусную меру дуги $DE$:

$\text{◡}DE = 180^\circ - \text{◡}AD - \text{◡}EB = 180^\circ - 62^\circ - 56^\circ = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

Таким образом, градусные меры образовавшихся дуг равны $62^\circ$, $62^\circ$ и $56^\circ$.

Ответ: $56^\circ$, $62^\circ$, $62^\circ$.