Номер 105, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Две окружности пересекаются в точках $E$ и $F$. Прямая, проходящая через точку $E$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $F$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 99). Найдите угол $BDC$, если $\angle ACD = 112^\circ$.

105. Две окружности пересекаются в точках $E$ и $F$. Прямая, проходящая через точку $E$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $F$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 99). Найдите угол $BDC$, если $\angle ACD = 112^\circ$.

Рис. 99

Рассмотрим четырехугольник ACFE, который вписан в левую окружность. Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Для углов $\angle AEF$ и $\angle ACF$ это записывается так:

$\angle AEF + \angle ACF = 180^{\circ}$

Из условия задачи известно, что точки C, F, D лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle ACF$ и угол $\angle ACD$ — это один и тот же угол. По условию $\angle ACD = 112^{\circ}$, следовательно, $\angle ACF = 112^{\circ}$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle AEF$:

$\angle AEF = 180^{\circ} - \angle ACF = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$

Также по условию точки A, E, B лежат на одной прямой. Это значит, что углы $\angle AEF$ и $\angle BEF$ являются смежными, и их сумма составляет $180^{\circ}$.

Найдем величину угла $\angle BEF$:

$\angle BEF = 180^{\circ} - \angle AEF = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$

Далее рассмотрим четырехугольник EBFD, который вписан в правую окружность. Для него также справедливо свойство, что сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$.

$\angle BEF + \angle BDF = 180^{\circ}$

Зная величину угла $\angle BEF$, найдем угол $\angle BDF$:

$\angle BDF = 180^{\circ} - \angle BEF = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$

Поскольку точки C, F, D лежат на одной прямой, искомый угол $\angle BDC$ совпадает с углом $\angle BDF$.

Следовательно, $\angle BDC = 68^{\circ}$.

Ответ: $68^{\circ}$