Страница 80 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Через точку M окружности проведена касательная MP, не параллельная диаметру NK (рис. 98). Найдите углы треугольника MNK, если $\angle PMN = 130^\circ$.

Рис. 98

98. Через точку M окружности проведена касательная MP, не параллельная диаметру NK (рис. 98). Найдите углы треугольника MNK, если $ \angle PMN = 130^{\circ} $.

Рис. 98

Для нахождения углов треугольника MNK воспользуемся свойствами вписанных углов, свойством угла, опирающегося на диаметр, и теоремой об угле между касательной и хордой.

1. Найдем угол NMK

По условию задачи, отрезок NK является диаметром окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр, всегда прямой. Угол NMK вписан в окружность и опирается на диаметр NK. Следовательно, его величина составляет 90 градусов.

$\angle NMK = 90^\circ$

2. Найдем угол MKN

Угол $\angle PMN$, равный $130^\circ$, образован касательной MP и хордой MN. Этот угол является смежным с углом между касательной и хордой, который измеряется половиной дуги, заключенной внутри него. Обозначим точку Q на касательной так, что M лежит между Q и P. Тогда угол QMP — развернутый ($180^\circ$).

Найдем угол $\angle QMN$, смежный с углом $\angle PMN$:

$\angle QMN = 180^\circ - \angle PMN = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами. Также этот угол равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Угол $\angle QMN$ измеряется половиной дуги MN. Вписанный угол $\angle MKN$ опирается на ту же дугу MN. Следовательно, эти углы равны:

$\angle MKN = \angle QMN = 50^\circ$

3. Найдем угол MNK

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника MNK мы знаем два угла: $\angle NMK = 90^\circ$ и $\angle MKN = 50^\circ$. Теперь мы можем найти третий угол $\angle MNK$:

$\angle MNK + \angle MKN + \angle NMK = 180^\circ$

$\angle MNK + 50^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK + 140^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

Ответ: углы треугольника MNK равны $\angle NMK = 90^\circ$, $\angle MKN = 50^\circ$ и $\angle MNK = 40^\circ$.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $62^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $62^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC$ и углом при вершине $\angle B = 62^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании $AC$ равны:

$\angle A = \angle C = (180^\circ - 62^\circ) / 2 = 118^\circ / 2 = 59^\circ$.

На боковой стороне $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть эта полуокружность пересекает основание $AC$ в точке $D$ и другую боковую сторону $BC$ в точке $E$. Таким образом, полуокружность делится на три дуги: $AD$, $DE$ и $EB$. Найдём их градусные меры.

Рассмотрим дугу $AD$. Точки $A$, $D$, $B$ лежат на окружности, причём отрезок $AB$ является её диаметром. Угол $\angle ADB$ является вписанным и опирается на диаметр, следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ADB$ нам известен угол $\angle A = 59^\circ$. Тогда угол $\angle ABD$ равен:

$\angle ABD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

Угол $\angle ABD$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AD$. Градусная мера дуги вдвое больше величины вписанного угла, который на неё опирается. Таким образом, градусная мера дуги $AD$ равна:

$\text{◡}AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 31^\circ = 62^\circ$.

Теперь рассмотрим дугу $EB$. Точки $A$, $E$, $B$ также лежат на окружности с диаметром $AB$. Угол $\angle AEB$ вписанный и опирается на диаметр, следовательно, $\angle AEB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $AEB$ нам известен угол $\angle B = 62^\circ$. Тогда угол $\angle BAE$ равен:

$\angle BAE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$.

Угол $\angle BAE$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $EB$. Следовательно, градусная мера дуги $EB$ равна:

$\text{◡}EB = 2 \cdot \angle BAE = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$.

Вся полуокружность имеет градусную меру $180^\circ$. Она состоит из трёх дуг $AD$, $DE$ и $EB$. Сумма их градусных мер равна $180^\circ$. Найдём градусную меру дуги $DE$:

$\text{◡}DE = 180^\circ - \text{◡}AD - \text{◡}EB = 180^\circ - 62^\circ - 56^\circ = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

Таким образом, градусные меры образовавшихся дуг равны $62^\circ$, $62^\circ$ и $56^\circ$.

Ответ: $56^\circ$, $62^\circ$, $62^\circ$.

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если:

1) $\angle A = 56^\circ$, $\angle C = 124^\circ$;

2) $\angle B = 64^\circ$, $\angle D = 106^\circ$?

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если:

1) $\angle A = 56^\circ$, $\angle C = 124^\circ$;

2) $\angle B = 64^\circ$, $\angle D = 106^\circ$?

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась 180°. Это свойство вписанного четырехугольника. Проверим это условие для каждого из случаев.

1) Дано: $∠A = 56°$, $∠C = 124°$.

Углы $∠A$ и $∠C$ являются противолежащими в четырехугольнике $ABCD$. Найдем их сумму:

$∠A + ∠C = 56° + 124° = 180°$

Поскольку сумма противолежащих углов равна 180°, около данного четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: да, можно.

2) Дано: $∠B = 64°$, $∠D = 106°$.

Углы $∠B$ и $∠D$ являются противолежащими в четырехугольнике $ABCD$. Найдем их сумму:

$∠B + ∠D = 64° + 106° = 170°$

Поскольку сумма противолежащих углов не равна 180° ($170° ≠ 180°$), около данного четырехугольника нельзя описать окружность.

Ответ: нет, нельзя.

101. Найдите углы $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $\angle C = 38^{\circ}$, $\angle D = 134^{\circ}$.

101. Найдите углы $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $\angle C = 38^\circ$, $\angle D = 134^\circ$.

Для решения этой задачи используется свойство вписанного четырёхугольника. Основное свойство такого четырёхугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

В четырёхугольнике $ABCD$ противолежащими углами являются углы $A$ и $C$, а также углы $B$ и $D$. Таким образом, для него выполняются следующие равенства:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Согласно условию задачи, мы знаем, что $\angle C = 38^\circ$ и $\angle D = 134^\circ$.

Найдём угол A.
Используя первое равенство, выразим угол $A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle C$
Подставим известное значение $\angle C$:
$\angle A = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$

Найдём угол B.
Используя второе равенство, выразим угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle D$
Подставим известное значение $\angle D$:
$\angle B = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$

Ответ: $\angle A = 142^\circ$, $\angle B = 46^\circ$.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $56^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $56^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Основное свойство равнобедренной трапеции — равенство углов при каждом основании. Также для любого четырехугольника, вписанного в окружность, справедливо, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Пусть дана трапеция $ABCD$. По условию, один из ее углов равен $56^\circ$. Так как этот угол острый, то это угол при большем основании трапеции. Пусть $\angle A = 56^\circ$.

Поскольку трапеция вписана в окружность, сумма ее противолежащих углов равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle C$, противолежащий углу $\angle A$:$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при ее основаниях равны.Угол $\angle D$ равен углу $\angle A$, так как они лежат при одном основании:$\angle D = \angle A = 56^\circ$.

Угол $\angle B$ равен углу $\angle C$, так как они также лежат при одном основании:$\angle B = \angle C = 124^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $56^\circ$, $124^\circ$, $124^\circ$, $56^\circ$. Один из углов ($56^\circ$) был задан, следовательно, остальные три угла — это $56^\circ$, $124^\circ$ и $124^\circ$.

Ответ: $56^\circ, 124^\circ, 124^\circ$.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $C$ на $11^\circ$ больше угла $D$ и в 8 раз меньше угла $A$. Найдите углы четырёхугольника.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $C$ на $11^{\circ}$ больше угла $D$ и в 8 раз меньше угла $A$. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть углы четырехугольника ABCD обозначаются как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$.

По свойству четырехугольника, вписанного в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, справедливы следующие равенства:

1) $\angle A + \angle C = 180^\circ$

2) $\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи нам также известны соотношения между углами:

3) Угол C на $11^\circ$ больше угла D: $\angle C = \angle D + 11^\circ$

4) Угол C в 8 раз меньше угла A: $\angle A = 8 \cdot \angle C$

Для нахождения углов $\angle A$ и $\angle C$ воспользуемся уравнениями (1) и (4). Подставим выражение для $\angle A$ из уравнения (4) в уравнение (1):

$8 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$

$9 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$

Теперь, зная величину угла C, найдем угол A из уравнения (4):

$\angle A = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ$

Далее, используя уравнение (3) и найденное значение $\angle C$, найдем угол D:

$20^\circ = \angle D + 11^\circ$

$\angle D = 20^\circ - 11^\circ = 9^\circ$

Наконец, найдем угол B из уравнения (2), подставив в него значение угла D:

$\angle B + 9^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 9^\circ = 171^\circ$

Таким образом, углы четырехугольника равны: $\angle A = 160^\circ$, $\angle B = 171^\circ$, $\angle C = 20^\circ$ и $\angle D = 9^\circ$.

Ответ: $\angle A = 160^\circ$, $\angle B = 171^\circ$, $\angle C = 20^\circ$, $\angle D = 9^\circ$.

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 124^\circ$, $\angle ADC = 56^\circ$, $\angle BAC = 32^\circ$, $\angle CAD = 54^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AB$.

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 124^\circ$, $\angle ADC = 56^\circ$, $\angle BAC = 32^\circ$, $\angle CAD = 54^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AB$.

Пусть диагонали четырёхугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Угол между диагоналями, противолежащий стороне $AB$, — это угол $\angle AOB$ в треугольнике $\triangle AOB$.

Сначала проверим, является ли данный четырёхугольник вписанным в окружность. Для этого найдём сумму его противоположных углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.
$\angle ABC + \angle ADC = 124^\circ + 56^\circ = 180^\circ$.
Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Следовательно, $ABCD$ — вписанный четырёхугольник.

Для нахождения искомого угла $\angle AOB$ воспользуемся свойством суммы углов треугольника $\triangle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA$.

Из условия нам известен угол $\angle OAB = \angle BAC = 32^\circ$.

Теперь найдём угол $\angle OBA = \angle DBA$. Во вписанном четырёхугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $\angle DBA$ опирается на дугу $AD$. На эту же дугу опирается угол $\angle DCA$. Значит, $\angle DBA = \angle DCA$.

Найдём величину угла $\angle DCA$ из треугольника $\triangle ADC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Нам известны два угла этого треугольника из условия: $\angle CAD = 54^\circ$ и $\angle ADC = 56^\circ$.
$\angle DCA = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^\circ - (54^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Следовательно, $\angle OBA = \angle DBA = \angle DCA = 70^\circ$.

Теперь мы можем вычислить искомый угол $\angle AOB$ в треугольнике $\triangle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 32^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Ответ: $78^\circ$.

105. Две окружности пересекаются в точках $E$ и $F$. Прямая, проходящая через точку $E$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $F$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 99). Найдите угол $BDC$, если $\angle ACD = 112^\circ$.

105. Две окружности пересекаются в точках $E$ и $F$. Прямая, проходящая через точку $E$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $F$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 99). Найдите угол $BDC$, если $\angle ACD = 112^\circ$.

Рис. 99

Рассмотрим четырехугольник ACFE, который вписан в левую окружность. Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Для углов $\angle AEF$ и $\angle ACF$ это записывается так:

$\angle AEF + \angle ACF = 180^{\circ}$

Из условия задачи известно, что точки C, F, D лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle ACF$ и угол $\angle ACD$ — это один и тот же угол. По условию $\angle ACD = 112^{\circ}$, следовательно, $\angle ACF = 112^{\circ}$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle AEF$:

$\angle AEF = 180^{\circ} - \angle ACF = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$

Также по условию точки A, E, B лежат на одной прямой. Это значит, что углы $\angle AEF$ и $\angle BEF$ являются смежными, и их сумма составляет $180^{\circ}$.

Найдем величину угла $\angle BEF$:

$\angle BEF = 180^{\circ} - \angle AEF = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$

Далее рассмотрим четырехугольник EBFD, который вписан в правую окружность. Для него также справедливо свойство, что сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$.

$\angle BEF + \angle BDF = 180^{\circ}$

Зная величину угла $\angle BEF$, найдем угол $\angle BDF$:

$\angle BDF = 180^{\circ} - \angle BEF = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$

Поскольку точки C, F, D лежат на одной прямой, искомый угол $\angle BDC$ совпадает с углом $\angle BDF$.

Следовательно, $\angle BDC = 68^{\circ}$.

Ответ: $68^{\circ}$