Страница 76 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Определите вид четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника, диагонали — равны и перпендикулярны.

59. Определите вид четырёхугольника, вершины которого — середины сторон четырёхугольника, диагонали — равны и перпендикулярны.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Требуется определить вид четырёхугольника $KLMN$, зная, что диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны и перпендикулярны.

1. Сначала докажем, что четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом. Для этого воспользуемся свойством средней линии треугольника.

В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм (этот факт также известен как теорема Вариньона).

2. Теперь используем условия, данные в задаче, для определения вида этого параллелограмма.

По условию, диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Рассмотрим сторону $KN$ параллелограмма $KLMN$. Она является средней линией в треугольнике $ABD$, а значит $KN \parallel BD$. Мы уже установили, что $KL \parallel AC$. Поскольку $KL \parallel AC$, $KN \parallel BD$ и $AC \perp BD$, то и смежные стороны параллелограмма $KL$ и $KN$ также перпендикулярны: $KL \perp KN$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $KLMN$ — это прямоугольник.

По условию, диагонали исходного четырёхугольника равны, то есть $AC = BD$. Мы знаем, что длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$ равны $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то и $KL = KN$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, $KLMN$ — это ромб.

3. Совместим полученные выводы. Четырёхугольник $KLMN$ является одновременно и прямоугольником (потому что диагонали $ABCD$ перпендикулярны), и ромбом (потому что диагонали $ABCD$ равны). Четырёхугольник, который является и прямоугольником, и ромбом, — это квадрат.

Ответ: квадрат.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является квадратом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является квадратом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — данный четырёхугольник, а точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. По условию, четырёхугольник $KLMN$ является квадратом.

1. Докажем, что диагонали равны ($AC = BD$).

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины его сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины этой стороны:

$KL = \frac{1}{2}AC$

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины его сторон $AB$ и $AD$, следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии:

$KN = \frac{1}{2}BD$

Так как $KLMN$ — квадрат, все его стороны равны. В частности, $KL = KN$. Приравнивая выражения для длин этих сторон, получаем:

$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$AC = BD$

Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны.

2. Докажем, что диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Из свойства средней линии мы знаем, что:

$KL \parallel AC$

$KN \parallel BD$

Поскольку $KLMN$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, то есть угол между сторонами $KL$ и $KN$ равен $90^\circ$.

$KL \perp KN$

Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между любыми двумя прямыми, которые соответственно им параллельны. Так как $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу между сторонами $KL$ и $KN$. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ также перпендикулярны:

$AC \perp BD$

Мы доказали, что диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: диагонали данного четырёхугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

61. Точки $P, Q, R$ и $S$ — середины сторон $AB$ и $CD$ и диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Найдите сторону $PR$ четырёхугольника $PRQS$, если $SQ = 6$ см.

61. Точки $P, Q, R$ и $S$ – середины сторон $AB$ и $CD$ и диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Найдите сторону $PR$ четырёхугольника $PRQS$, если $SQ = 6 \text{ см}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрение треугольника ABC

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $R$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно (согласно условию). Таким образом, отрезок $PR$ — это средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии:

$PR = \frac{1}{2} BC$

2. Рассмотрение треугольника BCD

В треугольнике $BCD$ точки $S$ и $Q$ являются серединами сторон $BD$ и $CD$ соответственно. Таким образом, отрезок $SQ$ — это средняя линия треугольника $BCD$. По свойству средней линии:

$SQ = \frac{1}{2} BC$

3. Нахождение длины PR

Из двух полученных выше равенств следует, что длины отрезков $PR$ и $SQ$ равны, так как оба они равны половине длины одной и той же стороны $BC$:

$PR = SQ$

По условию задачи дано, что $SQ = 6$ см. Следовательно, длина стороны $PR$ также равна 6 см.

Ответ: $6$ см.

62. На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $F$ и $N$ соответственно, что $AF : FC = AN : NB = 1 : 3$. Найдите сторону $BC$, если $FN = 9$ см.

62. На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $F$ и $N$ соответственно, что $AF : FC = AN : NB = 1 : 3$. Найдите сторону $BC$, если $FN = 9$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AFN$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle A$ является общим для этих двух треугольников.

2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу.

Из условия $AF : FC = 1 : 3$ следует, что вся сторона $AC$ состоит из $1+3=4$ частей. Значит, отрезок $AF$ составляет $\frac{1}{4}$ всей стороны $AC$.

$$ \frac{AF}{AC} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} $$

Аналогично, из условия $AN : NB = 1 : 3$ следует, что вся сторона $AB$ состоит из $1+3=4$ частей. Значит, отрезок $AN$ составляет $\frac{1}{4}$ всей стороны $AB$.

$$ \frac{AN}{AB} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} $$

Поскольку угол $\angle A$ — общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны ($\frac{AF}{AC} = \frac{AN}{AB}$), то треугольники $\triangle AFN$ и $\triangle ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$$ k = \frac{AF}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{1}{4} $$

В подобных треугольниках отношение всех соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение сторон $FN$ и $BC$ также равно $k$.

$$ \frac{FN}{BC} = k = \frac{1}{4} $$

По условию $FN = 9$ см. Подставим это значение в полученное равенство:

$$ \frac{9}{BC} = \frac{1}{4} $$

Отсюда найдем длину стороны $BC$:

$$ BC = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см} $$

Ответ: 36 см.

63. Два угла трапеции равны $36^\circ$ и $62^\circ$. Найдите два других её угла.

63. Два угла трапеции равны $36^\circ$ и $62^\circ$. Найдите два других её угла.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

Даны два угла трапеции: $36^\circ$ и $62^\circ$. Проверим, могут ли эти углы быть прилежащими к одной боковой стороне. Для этого найдем их сумму: $36^\circ + 62^\circ = 98^\circ$.

Поскольку $98^\circ \ne 180^\circ$, данные углы не могут прилегать к одной боковой стороне. Это означает, что они либо являются углами при одном основании, либо противолежащими углами. В любом случае, для нахождения двух других углов трапеции нужно найти углы, которые в паре с данными углами будут составлять $180^\circ$.

Найдем первый искомый угол. Он будет смежным к углу $36^\circ$ по боковой стороне:

$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Найдем второй искомый угол. Он будет смежным к углу $62^\circ$ по другой боковой стороне:

$180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$

Таким образом, два других угла трапеции равны $144^\circ$ и $118^\circ$. Можно проверить, что сумма всех четырех углов равна $36^\circ + 62^\circ + 144^\circ + 118^\circ = 360^\circ$, что верно для любого четырехугольника.

Ответ: $144^\circ$ и $118^\circ$.

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если её противолежащие углы относятся как 1 : 3.

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если её противолежащие углы относятся как $1 : 3$.

Пусть меньший из противолежащих углов равнобокой трапеции равен $x$. Тогда, согласно условию, что противолежащие углы относятся как $1:3$, больший противолежащий угол будет равен $3x$.

В равнобокой трапеции сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Это следует из того, что углы при одном основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет $180^\circ$.

Составим и решим уравнение на основе этого свойства:

$x + 3x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4}$

$x = 45^\circ$

Итак, меньший угол трапеции равен $45^\circ$.

Найдем больший угол:

$3x = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Это означает, что в трапеции есть два одинаковых острых угла и два одинаковых тупых угла.

Таким образом, углы трапеции равны $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

65. В прямоугольной трапеции тупой угол в 3 раза больше острого. Найдите углы трапеции.

65. В прямоугольной трапеции тупой угол в 3 раза больше острого. Найдите углы трапеции.

Прямоугольная трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это означает, что у прямоугольной трапеции есть два прямых угла, каждый из которых равен $90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, всегда равна $180^\circ$. В нашей трапеции одна боковая сторона образует два прямых угла. Рассмотрим другую боковую сторону. Углы, прилежащие к ней, — это острый и тупой углы.

Пусть величина острого угла равна $x$.

Согласно условию, тупой угол в 3 раза больше острого. Следовательно, его величина равна $3x$.

Сумма этих двух углов равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4}$

$x = 45^\circ$

Итак, острый угол трапеции равен $45^\circ$.

Теперь найдем величину тупого угла:

$3x = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Таким образом, углы трапеции: два прямых, один острый и один тупой.

Ответ: $90^\circ$, $90^\circ$, $45^\circ$, $135^\circ$.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция. Проведем в ней высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота, боковая сторона и часть большего основания образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике один катет — это высота, гипотенуза — это боковая сторона трапеции. Один из острых углов этого треугольника — это угол между высотой и боковой стороной, который по условию равен $32^\circ$. Второй острый угол этого треугольника является острым углом самой трапеции.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то острый угол трапеции можно найти как: $90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, в нашей трапеции есть два острых угла, и оба они равны $58^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, всегда равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем тупой угол трапеции: $180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$.

Поскольку трапеция равнобокая, второй тупой угол также равен $122^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $58^\circ$, $58^\circ$, $122^\circ$, $122^\circ$.

67. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 12 см и 14 см.

67. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 12 см и 14 см.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Длина средней линии равна полусумме длин оснований трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $m$ — длина её средней линии. Формула для вычисления средней линии:

$m = \frac{a + b}{2}$

По условию задачи, основания трапеции равны 12 см и 14 см. Подставим эти значения в формулу:

$a = 12$ см
$b = 14$ см

$m = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

68. Одно из оснований трапеции равно 14 см, а средняя линия — 9 см. Найдите второе основание трапеции.

68. Одно из оснований трапеции равно 14 см, а средняя линия — 9 см. Найдите второе основание трапеции.

68.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Если обозначить основания трапеции как $a$ и $b$, а среднюю линию как $m$, то формула будет следующей:

$m = \frac{a + b}{2}$

По условию задачи нам известно, что одно из оснований равно 14 см (пусть это будет $a = 14$ см), а средняя линия равна 9 см ($m = 9$ см). Нам необходимо найти второе основание $b$.

Подставим известные значения в формулу:

$9 = \frac{14 + b}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$9 \cdot 2 = 14 + b$

$18 = 14 + b$

Далее, чтобы найти $b$, вычтем 14 из обеих частей уравнения:

$b = 18 - 14$

$b = 4$

Таким образом, длина второго основания трапеции составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

69. Средняя линия трапеции равна 24 см, а её основания относятся как 3 : 5. Найдите основания трапеции.

69. Средняя линия трапеции равна 24 см, а её основания относятся как $3:5$. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. По условию задачи, их отношение составляет $3:5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины оснований можно выразить как:
$a = 3x$
$b = 5x$

Средняя линия трапеции ($m$) равна полусумме ее оснований. Формула для вычисления средней линии:
$m = \frac{a+b}{2}$

Из условия известно, что средняя линия $m = 24$ см. Подставим известные данные и выражения для оснований в формулу:
$24 = \frac{3x + 5x}{2}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:
$24 = \frac{8x}{2}$
$24 = 4x$
$x = \frac{24}{4}$
$x = 6$

Зная коэффициент пропорциональности $x$, найдем длины оснований трапеции:
Меньшее основание: $a = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Большее основание: $b = 5x = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Ответ: основания трапеции равны 18 см и 30 см.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 12 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении $3:2$, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 12 см, а её высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны $a$ и $b$, где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

Согласно условию задачи, средняя линия равна 12 см. Подставим это значение в формулу, чтобы получить первое уравнение: $12 = \frac{a+b}{2}$ $a + b = 24$

Рассмотрим прямоугольную трапецию, где AD — большее основание ($a$), BC — меньшее основание ($b$), а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (углы A и B прямые). Проведем высоту CH из вершины тупого угла C на основание AD. Точка H разделит основание AD на два отрезка: AH и HD.

Так как ABCH является прямоугольником (поскольку AB $\perp$ AD и CH $\perp$ AD, а BC $||$ AD), то длина отрезка AH равна длине меньшего основания $b$: $AH = b$.

По условию, высота CH делит большее основание AD в отношении $3:2$, считая от вершины прямого угла A. Это означает, что $AH : HD = 3 : 2$.

Из данного отношения следует, что отрезок AH составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины всего основания $a$. Таким образом, мы можем записать: $AH = \frac{3}{5}a$.

Поскольку $AH = b$, мы получаем второе уравнение, связывающее основания: $b = \frac{3}{5}a$

Теперь необходимо решить систему из двух уравнений: 1) $a + b = 24$ 2) $b = \frac{3}{5}a$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое: $a + \frac{3}{5}a = 24$ $\frac{5a + 3a}{5} = 24$ $\frac{8a}{5} = 24$ $a = 24 \cdot \frac{5}{8}$ $a = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Теперь найдем длину меньшего основания $b$, используя первое уравнение: $b = 24 - a = 24 - 15 = 9$ см.

Следовательно, основания трапеции равны 15 см и 9 см.

Ответ: 9 см и 15 см.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с боковой стороной угол $23^{\circ}$. Найдите углы трапеции.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с боковой стороной угол $23^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Боковые стороны трапеции — $AB$ и $CD$.

Из условия задачи известно, что трапеция равнобокая, поэтому $AB = CD$ и углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Также по условию, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Учитывая, что $AB = CD$, получаем равенство трех сторон: $AB = BC = CD$.

Дано, что диагональ образует с боковой стороной угол $23°$. Рассмотрим диагональ $AC$ и боковую сторону $AB$. Пусть угол между ними равен $23°$, то есть $\angle BAC = 23°$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC$, то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BCA = \angle BAC = 23°$.

Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а $AC$ — секущая. Поэтому накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны. Таким образом, $\angle CAD = \angle BCA = 23°$.

Угол трапеции при большем основании $\angle A$ (он же $\angle BAD$) равен сумме углов $\angle BAC$ и $\angle CAD$:

$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 23° + 23° = 46°$.

Поскольку трапеция равнобокая, второй угол при большем основании $\angle D$ равен углу $\angle A$:

$\angle D = 46°$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180°$. Найдем угол $\angle B$ при меньшем основании:

$\angle B = 180° - \angle A = 180° - 46° = 134°$.

Второй угол при меньшем основании $\angle C$ равен углу $\angle B$:

$\angle C = 134°$.

Итак, углы трапеции равны $46°$, $134°$, $134°$, $46°$.

Ответ: $46°$, $134°$, $134°$, $46°$.