Номер 71, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с боковой стороной угол $23^{\circ}$. Найдите углы трапеции.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с боковой стороной угол $23^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Боковые стороны трапеции — $AB$ и $CD$.

Из условия задачи известно, что трапеция равнобокая, поэтому $AB = CD$ и углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Также по условию, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Учитывая, что $AB = CD$, получаем равенство трех сторон: $AB = BC = CD$.

Дано, что диагональ образует с боковой стороной угол $23°$. Рассмотрим диагональ $AC$ и боковую сторону $AB$. Пусть угол между ними равен $23°$, то есть $\angle BAC = 23°$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC$, то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BCA = \angle BAC = 23°$.

Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а $AC$ — секущая. Поэтому накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны. Таким образом, $\angle CAD = \angle BCA = 23°$.

Угол трапеции при большем основании $\angle A$ (он же $\angle BAD$) равен сумме углов $\angle BAC$ и $\angle CAD$:

$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 23° + 23° = 46°$.

Поскольку трапеция равнобокая, второй угол при большем основании $\angle D$ равен углу $\angle A$:

$\angle D = 46°$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180°$. Найдем угол $\angle B$ при меньшем основании:

$\angle B = 180° - \angle A = 180° - 46° = 134°$.

Второй угол при меньшем основании $\angle C$ равен углу $\angle B$:

$\angle C = 134°$.

Итак, углы трапеции равны $46°$, $134°$, $134°$, $46°$.

Ответ: $46°$, $134°$, $134°$, $46°$.