Номер 75, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Трапеция. Вариант 3. Упражнения - номер 75, страница 77.

Условие 2017.

75. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 10 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 3 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Условие 2021.

75. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 10 см.

Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 3 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 2021.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которой $a$ и $b$ — длины оснований, причём $b$ — меньшее основание. По условию, $b = 10$ см.

Проведём из вершины тупого угла высоту $h$ на большее основание $a$. В равнобокой трапеции высота делит большее основание на два отрезка. Длина одного из них (меньшего) равна полуразности оснований, а другого (большего) — полусумме оснований.

Меньший отрезок: $x_1 = \frac{a - b}{2}$
Больший отрезок: $x_2 = \frac{a + b}{2}$

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, очевидно, что $x_1 < x_2$. В условии сказано, что один из отрезков равен 3 см. Это должен быть меньший отрезок, так как если предположить, что больший отрезок $x_2 = 3$ см, то полусумма оснований равна 3. Тогда $a+b=6$, но одно только меньшее основание $b=10$, что приводит к противоречию. Следовательно, $x_1 = 3$ см.

Итак, мы имеем: $\frac{a - b}{2} = 3$

Подставим известное значение $b = 10$ см и найдём длину большего основания $a$: $\frac{a - 10}{2} = 3$
$a - 10 = 6$
$a = 16$ см.

Средняя линия трапеции $m$ равна полусумме её оснований: $m = \frac{a + b}{2}$

Теперь вычислим среднюю линию: $m = \frac{16 + 10}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Ответ: 13 см.