Номер 79, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и высотой.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и высотой.

Для построения трапеции воспользуемся методом, основанным на построении вспомогательного прямоугольного треугольника. Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, высотой $h$. Пусть угол между диагональю $AC$ и высотой $CH$, опущенной из вершины $C$ на основание $AD$, равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, образованный диагональю $AC$, высотой $CH$ и отрезком $AH$ на основании $AD$. В этом треугольнике нам известны катет $CH$, равный высоте трапеции $h$, и прилежащий к нему острый угол $\angle ACH = \alpha$. По катету и прилежащему острому углу прямоугольный треугольник строится однозначно.
После построения треугольника $AHC$ мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой, содержащей основание $AD$. Вершина $D$ находится на этой же прямой на расстоянии $a$ от вершины $A$. Вершина $B$ находится на прямой, проходящей через $C$ параллельно $AD$, на расстоянии $b$ от вершины $C$. Таким образом, мы можем последовательно построить все элементы трапеции.

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.
2. Через точку $H$ построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок $HC$ длиной, равной заданной высоте $h$.
4. От луча $CH$ построим угол $\angle ACH$, равный заданному углу $\alpha$. Точку пересечения второй стороны угла с прямой $l$ обозначим $A$. В результате будет построен прямоугольный треугольник $AHC$.
5. На прямой $l$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$ длиной, равной основанию $a$.
6. Через вершину $C$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $l$.
7. На прямой $n$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$ длиной, равной основанию $b$, так, чтобы точка $B$ оказалась в той же полуплоскости относительно прямой $CH$, что и точка $A$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению (шаг 6), прямая $n$, содержащая отрезок $BC$, параллельна прямой $l$, содержащей отрезок $AD$. Следовательно, $BC \parallel AD$, и $ABCD$ — трапеция.
• Длины оснований по построению равны $AD = a$ (шаг 5) и $BC = b$ (шаг 7).
• Высота трапеции — это расстояние между параллельными прямыми $l$ и $n$. По построению (шаг 3), длина перпендикуляра $CH$ между этими прямыми равна $h$.
• Диагональ $AC$ и высота $CH$ образуют угол $\angle ACH$, который по построению (шаг 4) равен заданному углу $\alpha$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если заданный угол $\alpha$ является острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Это необходимо для того, чтобы можно было построить невырожденный прямоугольный треугольник $AHC$. Если это условие выполнено, построение всегда возможно. Выбор направления для отрезка $CB$ в шаге 7 обеспечивает единственность решения (для получения несамопересекающейся трапеции). В общем случае, меняя направления откладывания отрезков $AD$ и $BC$, можно получить до четырех различных трапеций, удовлетворяющих условиям.

Ответ: План построения, изложенный в разделе «Построение», является решением задачи.