Номер 77, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Основания равнобокой трапеции равны 11 см и 17 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

77. Основания равнобокой трапеции равны 11 см и 17 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, основания равны $AD = 17$ см и $BC = 11$ см, а диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Проведем через точку $O$ высоту трапеции $MN$, где точка $M$ лежит на основании $BC$, а точка $N$ — на основании $AD$. Высота трапеции $h$ будет равна длине отрезка $MN$, то есть $h = OM + ON$.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и прилежащие к основаниям, являются равнобедренными. То есть, $\triangle BOC$ (с основанием $BC$) и $\triangle AOD$ (с основанием $AD$) — равнобедренные, так как $BO=CO$ и $AO=DO$.

Поскольку по условию диагонали перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$. Это означает, что $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками, где основания $BC$ и $AD$ являются их гипотенузами.

Рассмотрим $\triangle BOC$. Отрезок $OM$ является высотой этого треугольника, проведенной к гипотенузе. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Следовательно, длина $OM$ равна половине длины основания $BC$: $OM = \frac{1}{2} BC = \frac{11}{2} = 5,5$ см.

Аналогично, рассмотрим $\triangle AOD$. Отрезок $ON$ является высотой и медианой к гипотенузе $AD$. Следовательно, длина $ON$ равна половине длины основания $AD$: $ON = \frac{1}{2} AD = \frac{17}{2} = 8,5$ см.

Общая высота трапеции $h$ равна сумме длин отрезков $OM$ и $ON$: $h = OM + ON = 5,5 + 8,5 = 14$ см.

Это подтверждает общее свойство: высота равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равна ее средней линии (полусумме оснований).

Ответ: 14 см.