Номер 74, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Основания равнобокой трапеции равны 7 см и 11 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

74. Основания равнобокой трапеции равны 7 см и 11 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ – основания. По условию, меньшее основание $BC = 7$ см, а большее основание $AD = 11$ см.

Проведем высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ на большее основание $AD$. Эта высота делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Нам необходимо найти длины этих отрезков.

Для решения задачи проведем также вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на то же основание $AD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а высоты перпендикулярны основанию ($BK \perp AD$ и $CH \perp AD$), то четырехугольник $KBCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что отрезок $KH$ равен по длине меньшему основанию $BC$: $KH = BC = 7$ см.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, то ее боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при основании равны ($\angle A = \angle D$). Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$. Они равны по гипотенузе ($AB = CD$) и острому углу ($\angle A = \angle D$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AK = HD$.

Длина большего основания $AD$ складывается из длин трех отрезков: $AK$, $KH$ и $HD$. $AD = AK + KH + HD$

Заменим $AK$ на равный ему отрезок $HD$: $AD = HD + KH + HD = 2 \cdot HD + KH$

Теперь подставим известные значения в полученное уравнение: $11 = 2 \cdot HD + 7$

Решим это уравнение относительно $HD$: $2 \cdot HD = 11 - 7$ $2 \cdot HD = 4$ $HD = \frac{4}{2} = 2$ см.

Мы нашли один из отрезков. Теперь найдем второй отрезок, $AH$: $AH = AK + KH$ Поскольку $AK = HD = 2$ см, а $KH = 7$ см, то: $AH = 2 + 7 = 9$ см.

Таким образом, высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 9 см и 2 см. Проверим: $9 + 2 = 11$ см.

Ответ: 9 см и 2 см.