Номер 76, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобокой трапеции тупой угол равен 120°, а боковая сторона — 24 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 32 см.

76. В равнобокой трапеции тупой угол равен 120°, а боковая сторона — 24 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 32 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны.

По условию задачи:
Тупой угол при меньшем основании $\angle B = \angle C = 120^\circ$.
Длина боковой стороны $AB = CD = 24$ см.
Сумма оснований $AD + BC = 32$ см.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Найдем острый угол при большем основании:
$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Проведем из вершины B высоту BH на большее основание AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH, в котором:
- гипотенуза $AB = 24$ см;
- угол $\angle A = 60^\circ$;
- угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Найдем длину отрезка AH. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике ABH катет AH лежит напротив угла $\angle ABH = 30^\circ$.
$AH = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
Также можно найти AH через косинус угла A:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 24 \cdot \cos(60^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Так как трапеция равнобокая, то большее основание связано с меньшим через два таких отрезка:
$AD = BC + 2 \cdot AH$
$AD = BC + 2 \cdot 12$
$AD = BC + 24$
Отсюда получаем, что разность оснований равна $AD - BC = 24$ см.

Теперь составим систему уравнений, используя известную сумму и найденную разность оснований:
$ \begin{cases} AD + BC = 32 \\ AD - BC = 24 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти AD:
$(AD + BC) + (AD - BC) = 32 + 24$
$2 \cdot AD = 56$
$AD = 28$ см.

Подставим значение AD в первое уравнение, чтобы найти BC:
$28 + BC = 32$
$BC = 32 - 28 = 4$ см.

Следовательно, основания трапеции равны 28 см и 4 см.
Ответ: 28 см и 4 см.