Номер 72, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне, а тупой угол, противолежащий этой диагонали, равен $112^\circ$. Найдите остальные углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне, а тупой угол, противолежащий этой диагонали, равен 112°. Найдите остальные углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), и $BC$ — меньшее основание.

По условию, одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне. Допустим, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$:
$ \angle ACD = 90^\circ $.

Также по условию, тупой угол, противолежащий этой диагонали ($AC$), равен $112^\circ$. В трапеции углами, противолежащими диагонали $AC$, являются углы $\angle B$ и $\angle D$.

Рассмотрим $\triangle ACD$. Если предположить, что $\angle D = 112^\circ$, то сумма двух углов в этом треугольнике ($\angle D$ и $\angle ACD$) была бы равна $112^\circ + 90^\circ = 202^\circ$. Это невозможно, так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, тупой угол, противолежащий диагонали $AC$, — это $\angle B$.
$ \angle ABC = 112^\circ $.

Третье условие гласит, что меньшее основание ($BC$) равно второй боковой стороне. Боковая сторона, которой перпендикулярна диагональ $AC$, — это $CD$. Значит, "вторая" боковая сторона — это $AB$. Таким образом, имеем равенство:
$BC = AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$, он является равнобедренным. Углы при его основании $AC$ равны:
$ \angle BAC = \angle BCA $.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$, поэтому:
$ \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ $
$ 112^\circ + 2 \cdot \angle BCA = 180^\circ $
$ 2 \cdot \angle BCA = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ $
$ \angle BCA = 34^\circ $.

Теперь можем найти полный угол $\angle C$ трапеции, который состоит из двух углов:
$ \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 34^\circ + 90^\circ = 124^\circ $.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне).

Для боковой стороны $CD$:
$ \angle ADC + \angle BCD = 180^\circ $
$ \angle ADC + 124^\circ = 180^\circ $
$ \angle ADC = 56^\circ $.

Для боковой стороны $AB$:
$ \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ $
$ \angle DAB + 112^\circ = 180^\circ $
$ \angle DAB = 68^\circ $.

Итак, углы трапеции равны: $\angle A = 68^\circ$, $\angle B = 112^\circ$, $\angle C = 124^\circ$, $\angle D = 56^\circ$.
Проверим внутреннюю согласованность решения. Так как основания $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ при секущей $AC$ должны быть равны. Мы нашли $\angle BCA=34^\circ$, следовательно $\angle CAD$ также должен быть $34^\circ$.
Проверим сумму углов в $\triangle ACD$: $\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 34^\circ + 90^\circ + 56^\circ = 180^\circ$. Сумма верна.
Также проверим полный угол $\angle A$: $\angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$. Это совпадает со значением, полученным ранее. Все условия задачи выполнены.

Ответ: остальные углы трапеции равны $68^\circ, 124^\circ$ и $56^\circ$.