Номер 70, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 12 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении $3:2$, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 12 см, а её высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны $a$ и $b$, где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

Согласно условию задачи, средняя линия равна 12 см. Подставим это значение в формулу, чтобы получить первое уравнение: $12 = \frac{a+b}{2}$ $a + b = 24$

Рассмотрим прямоугольную трапецию, где AD — большее основание ($a$), BC — меньшее основание ($b$), а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (углы A и B прямые). Проведем высоту CH из вершины тупого угла C на основание AD. Точка H разделит основание AD на два отрезка: AH и HD.

Так как ABCH является прямоугольником (поскольку AB $\perp$ AD и CH $\perp$ AD, а BC $||$ AD), то длина отрезка AH равна длине меньшего основания $b$: $AH = b$.

По условию, высота CH делит большее основание AD в отношении $3:2$, считая от вершины прямого угла A. Это означает, что $AH : HD = 3 : 2$.

Из данного отношения следует, что отрезок AH составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины всего основания $a$. Таким образом, мы можем записать: $AH = \frac{3}{5}a$.

Поскольку $AH = b$, мы получаем второе уравнение, связывающее основания: $b = \frac{3}{5}a$

Теперь необходимо решить систему из двух уравнений: 1) $a + b = 24$ 2) $b = \frac{3}{5}a$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое: $a + \frac{3}{5}a = 24$ $\frac{5a + 3a}{5} = 24$ $\frac{8a}{5} = 24$ $a = 24 \cdot \frac{5}{8}$ $a = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Теперь найдем длину меньшего основания $b$, используя первое уравнение: $b = 24 - a = 24 - 15 = 9$ см.

Следовательно, основания трапеции равны 15 см и 9 см.

Ответ: 9 см и 15 см.