Номер 73, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. В равнобокой трапеции ABCD боковая сторона $AB$ равна 14 см, $\angle ABC = 120^\circ$. Через вершину $C$ трапеции проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $AD$ в точке $E$. Найдите периметр трапеции, если $AE = 10$ см.

73. В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $14$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Через вершину $C$ трапеции проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $AD$ в точке $E$. Найдите периметр трапеции, если $AE = 10$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания.По условию, боковая сторона $AB = 14$ см, $\angle ABC = 120°$. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны, следовательно, $CD = AB = 14$ см.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180°$. Поэтому угол при основании $AD$ будет равен:$\angle BAD = 180° - \angle ABC = 180° - 120° = 60°$.В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, значит $\angle CDA = \angle BAD = 60°$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По условию, через вершину $C$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает $AD$ в точке $E$, то есть $CE \parallel AB$. В трапеции основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel AE$.Поскольку у четырехугольника $ABCE$ противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel AE$ и $CE \parallel AB$), то $ABCE$ является параллелограммом по определению.

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Отсюда следует:$BC = AE = 10$ см (это меньшее основание трапеции).$CE = AB = 14$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Мы уже знаем длины двух его сторон:$CD = 14$ см (как боковая сторона трапеции).$CE = 14$ см (из свойств параллелограмма $ABCE$).Поскольку $CD = CE$, треугольник $CDE$ является равнобедренным.

Угол $\angle CDE$ треугольника $CDE$ является углом трапеции при основании $\angle CDA$, то есть $\angle CDE = 60°$.Так как треугольник $CDE$ равнобедренный и один из углов при его основании $DE$ равен $60°$, то и второй угол при основании $\angle CED$ также равен $60°$. Сумма углов треугольника равна $180°$, поэтому третий угол $\angle DCE = 180° - (60° + 60°) = 60°$.Поскольку все три угла треугольника $CDE$ равны $60°$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны:$ED = CD = CE = 14$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания $AD$, которое состоит из отрезков $AE$ и $ED$:$AD = AE + ED = 10 + 14 = 24$ см.

Периметр трапеции $ABCD$ равен сумме длин всех ее сторон:$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 14 + 10 + 14 + 24 = 62$ см.

Ответ: 62 см.