Страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобокой трапеции тупой угол равен 120°, а боковая сторона — 24 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 32 см.

76. В равнобокой трапеции тупой угол равен 120°, а боковая сторона — 24 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 32 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны.

По условию задачи:
Тупой угол при меньшем основании $\angle B = \angle C = 120^\circ$.
Длина боковой стороны $AB = CD = 24$ см.
Сумма оснований $AD + BC = 32$ см.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Найдем острый угол при большем основании:
$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Проведем из вершины B высоту BH на большее основание AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH, в котором:
- гипотенуза $AB = 24$ см;
- угол $\angle A = 60^\circ$;
- угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Найдем длину отрезка AH. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике ABH катет AH лежит напротив угла $\angle ABH = 30^\circ$.
$AH = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
Также можно найти AH через косинус угла A:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 24 \cdot \cos(60^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Так как трапеция равнобокая, то большее основание связано с меньшим через два таких отрезка:
$AD = BC + 2 \cdot AH$
$AD = BC + 2 \cdot 12$
$AD = BC + 24$
Отсюда получаем, что разность оснований равна $AD - BC = 24$ см.

Теперь составим систему уравнений, используя известную сумму и найденную разность оснований:
$ \begin{cases} AD + BC = 32 \\ AD - BC = 24 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти AD:
$(AD + BC) + (AD - BC) = 32 + 24$
$2 \cdot AD = 56$
$AD = 28$ см.

Подставим значение AD в первое уравнение, чтобы найти BC:
$28 + BC = 32$
$BC = 32 - 28 = 4$ см.

Следовательно, основания трапеции равны 28 см и 4 см.
Ответ: 28 см и 4 см.

77. Основания равнобокой трапеции равны 11 см и 17 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

77. Основания равнобокой трапеции равны 11 см и 17 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, основания равны $AD = 17$ см и $BC = 11$ см, а диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Проведем через точку $O$ высоту трапеции $MN$, где точка $M$ лежит на основании $BC$, а точка $N$ — на основании $AD$. Высота трапеции $h$ будет равна длине отрезка $MN$, то есть $h = OM + ON$.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и прилежащие к основаниям, являются равнобедренными. То есть, $\triangle BOC$ (с основанием $BC$) и $\triangle AOD$ (с основанием $AD$) — равнобедренные, так как $BO=CO$ и $AO=DO$.

Поскольку по условию диагонали перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$. Это означает, что $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками, где основания $BC$ и $AD$ являются их гипотенузами.

Рассмотрим $\triangle BOC$. Отрезок $OM$ является высотой этого треугольника, проведенной к гипотенузе. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Следовательно, длина $OM$ равна половине длины основания $BC$: $OM = \frac{1}{2} BC = \frac{11}{2} = 5,5$ см.

Аналогично, рассмотрим $\triangle AOD$. Отрезок $ON$ является высотой и медианой к гипотенузе $AD$. Следовательно, длина $ON$ равна половине длины основания $AD$: $ON = \frac{1}{2} AD = \frac{17}{2} = 8,5$ см.

Общая высота трапеции $h$ равна сумме длин отрезков $OM$ и $ON$: $h = OM + ON = 5,5 + 8,5 = 14$ см.

Это подтверждает общее свойство: высота равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равна ее средней линии (полусумме оснований).

Ответ: 14 см.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и высотой.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и высотой.

Для построения трапеции воспользуемся методом, основанным на построении вспомогательного прямоугольного треугольника. Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, высотой $h$. Пусть угол между диагональю $AC$ и высотой $CH$, опущенной из вершины $C$ на основание $AD$, равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, образованный диагональю $AC$, высотой $CH$ и отрезком $AH$ на основании $AD$. В этом треугольнике нам известны катет $CH$, равный высоте трапеции $h$, и прилежащий к нему острый угол $\angle ACH = \alpha$. По катету и прилежащему острому углу прямоугольный треугольник строится однозначно.
После построения треугольника $AHC$ мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой, содержащей основание $AD$. Вершина $D$ находится на этой же прямой на расстоянии $a$ от вершины $A$. Вершина $B$ находится на прямой, проходящей через $C$ параллельно $AD$, на расстоянии $b$ от вершины $C$. Таким образом, мы можем последовательно построить все элементы трапеции.

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.
2. Через точку $H$ построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок $HC$ длиной, равной заданной высоте $h$.
4. От луча $CH$ построим угол $\angle ACH$, равный заданному углу $\alpha$. Точку пересечения второй стороны угла с прямой $l$ обозначим $A$. В результате будет построен прямоугольный треугольник $AHC$.
5. На прямой $l$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$ длиной, равной основанию $a$.
6. Через вершину $C$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $l$.
7. На прямой $n$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$ длиной, равной основанию $b$, так, чтобы точка $B$ оказалась в той же полуплоскости относительно прямой $CH$, что и точка $A$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению (шаг 6), прямая $n$, содержащая отрезок $BC$, параллельна прямой $l$, содержащей отрезок $AD$. Следовательно, $BC \parallel AD$, и $ABCD$ — трапеция.
• Длины оснований по построению равны $AD = a$ (шаг 5) и $BC = b$ (шаг 7).
• Высота трапеции — это расстояние между параллельными прямыми $l$ и $n$. По построению (шаг 3), длина перпендикуляра $CH$ между этими прямыми равна $h$.
• Диагональ $AC$ и высота $CH$ образуют угол $\angle ACH$, который по построению (шаг 4) равен заданному углу $\alpha$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если заданный угол $\alpha$ является острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Это необходимо для того, чтобы можно было построить невырожденный прямоугольный треугольник $AHC$. Если это условие выполнено, построение всегда возможно. Выбор направления для отрезка $CB$ в шаге 7 обеспечивает единственность решения (для получения несамопересекающейся трапеции). В общем случае, меняя направления откладывания отрезков $AD$ и $BC$, можно получить до четырех различных трапеций, удовлетворяющих условиям.

Ответ: План построения, изложенный в разделе «Построение», является решением задачи.