Страница 84 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 7 : 6$. В каком отношении прямая $BK$ делит сторону $AC$?

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 7 : 6$. В каком отношении прямая $BK$ делит сторону $AC$?

Для решения этой задачи можно воспользоваться несколькими подходами. Рассмотрим два наиболее популярных метода.

Пусть прямая $BK$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Нам нужно найти отношение $AM : MC$.

Проведем через точку $D$ прямую, параллельную прямой $BK$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $P$. Таким образом, $DP \parallel BM$.

Рассмотрим $\triangle ADC$. Так как $K$ лежит на $AD$ и $M$ лежит на $AC$, а также $KM \parallel DP$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle AKM$ и $\triangle ADP$) следует:

$\frac{AK}{AD} = \frac{AM}{AP}$

По условию дано, что $AK : KD = 7 : 6$. Примем длину отрезка $AK$ за $7x$, тогда длина $KD$ будет $6x$. Длина всей медианы $AD$ равна $AK + KD = 7x + 6x = 13x$.

Найдем отношение $\frac{AK}{AD}$:

$\frac{AK}{AD} = \frac{7x}{13x} = \frac{7}{13}$

Следовательно, $\frac{AM}{AP} = \frac{7}{13}$.

Теперь рассмотрим $\triangle CBM$. Отрезок $DP$ параллелен стороне $BM$ и выходит из точки $D$, которая является серединой стороны $BC$ (поскольку $AD$ — медиана). По теореме Фалеса, если параллельные прямые ($DP$ и $BM$) пересекают стороны угла ($ \angle MCB$), и на одной стороне угла отсекают равные отрезки ($CD = DB$), то и на другой стороне они отсекают равные отрезки. Значит, $CP = PM$.

Таким образом, точка $P$ является серединой отрезка $CM$, и $CM = 2 \cdot PM$.

Из соотношения $\frac{AM}{AP} = \frac{7}{13}$ выразим $AP$ через $AM$: $13 \cdot AM = 7 \cdot AP$.

Поскольку $AP = AM + PM$, подставим это в уравнение:

$13 \cdot AM = 7 \cdot (AM + PM)$

$13 \cdot AM = 7 \cdot AM + 7 \cdot PM$

$6 \cdot AM = 7 \cdot PM$

Теперь заменим $PM$ на $\frac{1}{2} CM$:

$6 \cdot AM = 7 \cdot \left(\frac{1}{2} CM\right)$

$12 \cdot AM = 7 \cdot CM$

Отсюда получаем искомое отношение:

$\frac{AM}{CM} = \frac{7}{12}$

Ответ: $7:12$

Пусть прямая $BK$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$.

Рассмотрим треугольник $ADC$ и секущую $BKM$. Точки $M$, $K$ и $B$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает стороны $AC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, а также продолжение стороны $CD$ в точке $B$.

По теореме Менелая для $\triangle ADC$ и секущей $BKM$ справедливо соотношение:

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DK}{KA} = 1$

Определим значения отношений, входящих в формулу:

1. Так как $AD$ — медиана, точка $D$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что $BD = DC$. Длина всей стороны $CB$ равна $CD + DB = 2 \cdot BD$. Следовательно, отношение $\frac{CB}{BD} = \frac{2 \cdot BD}{BD} = 2$.

2. По условию $AK : KD = 7 : 6$. Следовательно, обратное отношение $\frac{DK}{KA} = \frac{6}{7}$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$\frac{AM}{MC} \cdot 2 \cdot \frac{6}{7} = 1$

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{12}{7} = 1$

Из этого уравнения выразим искомое отношение $\frac{AM}{MC}$:

$\frac{AM}{MC} = \frac{7}{12}$

Таким образом, прямая $BK$ делит сторону $AC$ в отношении $7:12$, считая от вершины $A$.

Ответ: $7:12$

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. В каком отношении точка $O$ делит отрезок $CM$, если $AM : MB = 5 : 3$ и $CN : NB = 9 : 16$?

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. В каком отношении точка $O$ делит отрезок $CM$, если $AM : MB = 5 : 3$ и $CN : NB = 9 : 16$?

Для решения данной задачи можно использовать несколько методов, например, теорему Менелая, метод векторов или метод масс. Воспользуемся методом масс как одним из наиболее наглядных.

1. Принцип метода масс. Разместим в вершинах треугольника $A$, $B$, $C$ такие массы $m_A, m_B, m_C$, чтобы точки $M$ и $N$ являлись центрами масс для соответствующих пар вершин. Точка пересечения отрезков $AN$ и $CM$ (чевиан) будет являться центром масс для всей системы из трех вершин.

2. Подбор масс.

Точка $M$ лежит на стороне $AB$. По условию $AM : MB = 5 : 3$. Чтобы точка $M$ была центром масс для вершин $A$ и $B$, массы в этих вершинах должны быть обратно пропорциональны расстояниям до точки $M$. То есть, должно выполняться равенство $m_A \cdot AM = m_B \cdot MB$. Отсюда находим отношение масс:

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{MB}{AM} = \frac{3}{5}$

Точка $N$ лежит на стороне $BC$. По условию $CN : NB = 9 : 16$. Чтобы точка $N$ была центром масс для вершин $B$ и $C$, должно выполняться равенство $m_B \cdot NB = m_C \cdot CN$. Отсюда находим отношение масс:

$\frac{m_C}{m_B} = \frac{NB}{CN} = \frac{16}{9}$

Теперь необходимо подобрать такие массы $m_A, m_B, m_C$, которые удовлетворяли бы обоим полученным отношениям. Для этого удобно выбрать массу $m_B$ так, чтобы остальные массы выражались целыми числами. Возьмем $m_B$ равной произведению знаменателей в отношениях: $m_B = 5 \cdot 9 = 45$.

Тогда:

$m_A = \frac{3}{5} m_B = \frac{3}{5} \cdot 45 = 27$

$m_C = \frac{16}{9} m_B = \frac{16}{9} \cdot 45 = 16 \cdot 5 = 80$

Итак, мы разместили в вершинах следующие массы: $m_A = 27$ в точке $A$, $m_B = 45$ в точке $B$, и $m_C = 80$ в точке $C$.

3. Нахождение искомого отношения.

Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AN$ и $CM$, а значит, она является центром масс всей системы. Центр масс системы можно рассматривать как центр масс для двух точек: точки $C$ с массой $m_C$ и точки $M$, в которой сосредоточена суммарная масса вершин $A$ и $B$.

Суммарная масса в точке $M$ равна: $m_M = m_A + m_B = 27 + 45 = 72$.

Теперь точка $O$ — это центр масс для двух точек: $C$ (с массой $m_C = 80$) и $M$ (с массой $m_M = 72$). По свойству центра масс, точка $O$ делит отрезок $CM$ на части, обратно пропорциональные массам на его концах:

$\frac{CO}{OM} = \frac{m_M}{m_C}$

Подставляем найденные значения масс:

$\frac{CO}{OM} = \frac{72}{80} = \frac{8 \cdot 9}{8 \cdot 10} = \frac{9}{10}$

Таким образом, точка $O$ делит отрезок $CM$ в отношении $9:10$, считая от вершины $C$.

Ответ: 9:10.

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 103). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 103

a

Треугольник ABC: $AB=4$, $BC=5$, $AC=2$.

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1C_1=5$.

b

Треугольник ABC: $BC=11$, $AC=12$.

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1B_1=6$, $A_1C_1=8$.

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 103). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 103

Для треугольника $ABC$: $AB=4$, $BC=5$, $AC=2$. Для треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1C_1=5$.

Для треугольника $ABC$: $AC=12$, $BC=11$. Для треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1=6$, $A_1C_1=8$.

а

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $), отношения их соответствующих сторон равны. По условию, стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$. Следовательно, третьей парой соответствующих сторон являются $AC$ и $A_1C_1$.

Можно записать пропорцию для соответствующих сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $

Из рисунка известны следующие длины сторон: Для $ \triangle ABC $: $ AB = 4 $ см, $ BC = 5 $ см, $ AC = 2 $ см. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ A_1C_1 = 5 $ см. Необходимо найти стороны $ A_1B_1 $ и $ B_1C_1 $.

Подставим известные значения в нашу пропорцию: $ \frac{4}{A_1B_1} = \frac{5}{B_1C_1} = \frac{2}{5} $

Из отношения $ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{2}{5} $ мы можем найти неизвестные стороны.

Найдем $ A_1B_1 $: $ \frac{4}{A_1B_1} = \frac{2}{5} $ $ A_1B_1 = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 $ см.

Найдем $ B_1C_1 $: $ \frac{5}{B_1C_1} = \frac{2}{5} $ $ B_1C_1 = \frac{5 \cdot 5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 $ см.

Ответ: $ A_1B_1 = 10 $ см, $ B_1C_1 = 12.5 $ см.

б

Используем то же свойство подобия треугольников и ту же пропорцию: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $

Из рисунка известны следующие длины сторон: Для $ \triangle ABC $: $ BC = 11 $ см, $ AC = 12 $ см. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ A_1B_1 = 6 $ см, $ A_1C_1 = 8 $ см. Необходимо найти стороны $ AB $ и $ B_1C_1 $.

Подставим известные значения в пропорцию: $ \frac{AB}{6} = \frac{11}{B_1C_1} = \frac{12}{8} $

Мы можем упростить отношение известных сторон $ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $. Теперь пропорция выглядит так: $ \frac{AB}{6} = \frac{11}{B_1C_1} = \frac{3}{2} $

Найдем неизвестную сторону $ AB $: $ \frac{AB}{6} = \frac{3}{2} $ $ AB = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 $ см.

Найдем неизвестную сторону $ B_1C_1 $: $ \frac{11}{B_1C_1} = \frac{3}{2} $ $ B_1C_1 = \frac{11 \cdot 2}{3} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3} $ см.

Ответ: $ AB = 9 $ см, $ B_1C_1 = 7\frac{1}{3} $ см.

134. Стороны треугольника относятся как $7 : 5 : 9$. Найдите стороны подобного ему треугольника, если:

1) его периметр равен 42 см;

2) его наибольшая сторона равна 27 см;

3) сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна 84 см.

134. Стороны треугольника относятся как 7 : 5 : 9. Найдите стороны подобного ему треугольника, если:

1) его периметр равен 42 см;

2) его наибольшая сторона равна 27 см;

3) сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна 84 см.

Поскольку искомый треугольник подобен данному, отношение его сторон будет таким же: $7:5:9$. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда стороны искомого треугольника можно выразить как $7x$, $5x$ и $9x$.

1) его периметр равен 42 см

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Составим и решим уравнение: $7x + 5x + 9x = 42$ $21x = 42$ $x = \frac{42}{21}$ $x = 2$

Теперь найдем длины сторон, подставив значение $x$: Первая сторона: $7x = 7 \cdot 2 = 14$ см. Вторая сторона: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ см. Третья сторона: $9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: 14 см, 10 см, 18 см.

2) его наибольшая сторона равна 27 см

Из отношения $7:5:9$ следует, что наибольшая сторона соответствует части 9. Таким образом, $9x$ — это наибольшая сторона. Составим и решим уравнение: $9x = 27$ $x = \frac{27}{9}$ $x = 3$

Найдем длины остальных сторон: Первая сторона: $7x = 7 \cdot 3 = 21$ см. Вторая сторона: $5x = 5 \cdot 3 = 15$ см. Третья сторона (наибольшая): $9x = 27$ см.

Ответ: 21 см, 15 см, 27 см.

3) сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна 84 см

Наибольшая сторона соответствует части 9 ($9x$), а наименьшая — части 5 ($5x$). Составим и решим уравнение, исходя из их суммы: $9x + 5x = 84$ $14x = 84$ $x = \frac{84}{14}$ $x = 6$

Теперь найдем длины всех трех сторон: Первая сторона: $7x = 7 \cdot 6 = 42$ см. Вторая сторона (наименьшая): $5x = 5 \cdot 6 = 30$ см. Третья сторона (наибольшая): $9x = 9 \cdot 6 = 54$ см.

Ответ: 42 см, 30 см, 54 см.

135. Известно, что $\triangle ABC \overset{0,4}{\sim} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC + A_1C_1 = 56 \text{ см}$ и $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$.

135. Известно, что $\Delta ABC \overset{0,4}{\sim} \Delta A_1 B_1 C_1$, причём $\angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, если $AC + A_1 C_1 = 56$ см и $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$.

По условию, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны с некоторым коэффициентом подобия $ k $:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k $

Из записи в условии $ \triangle ABC \stackrel{0,4}{\sim} \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что коэффициент подобия $ k = 0,4 $.

Также нам дано соотношение сторон треугольника $ \triangle ABC $:

$ AB : BC : AC = 2 : 3 : 4 $

Чтобы найти длины сторон, введем коэффициент пропорциональности $ x $. Тогда стороны $ \triangle ABC $ равны:

$ AB = 2x $, $ BC = 3x $, $ AC = 4x $.

Используя коэффициент подобия $ k=0,4 $, выразим сторону $ A_1C_1 $ через $ x $:

$ A_1C_1 = k \cdot AC = 0,4 \cdot (4x) = 1,6x $.

В условии сказано, что сумма длин сторон $ AC $ и $ A_1C_1 $ равна 56 см. Составим и решим уравнение:

$ AC + A_1C_1 = 56 $

$ 4x + 1,6x = 56 $

$ 5,6x = 56 $

$ x = \frac{56}{5,6} = 10 $

Теперь, зная $ x = 10 $, мы можем вычислить длины сторон обоих треугольников.

Стороны треугольника $ \triangle ABC $:

$ AB = 2x = 2 \cdot 10 = 20 $ см

$ BC = 3x = 3 \cdot 10 = 30 $ см

$ AC = 4x = 4 \cdot 10 = 40 $ см

Стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:

Длины сторон этого треугольника равны длинам соответствующих сторон $ \triangle ABC $, умноженным на коэффициент подобия $ k=0,4 $:

$ A_1B_1 = k \cdot AB = 0,4 \cdot 20 = 8 $ см

$ B_1C_1 = k \cdot BC = 0,4 \cdot 30 = 12 $ см

$ A_1C_1 = k \cdot AC = 0,4 \cdot 40 = 16 $ см

Проверим правильность решения: $ AC + A_1C_1 = 40 \text{ см} + 16 \text{ см} = 56 \text{ см} $. Условие выполнено.

Ответ: стороны треугольника $ ABC $ равны 20 см, 30 см, 40 см; стороны треугольника $ A_1B_1C_1 $ равны 8 см, 12 см, 16 см.