Номер 135, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Известно, что $\triangle ABC \overset{0,4}{\sim} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC + A_1C_1 = 56 \text{ см}$ и $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$.

135. Известно, что $\Delta ABC \overset{0,4}{\sim} \Delta A_1 B_1 C_1$, причём $\angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$, если $AC + A_1 C_1 = 56$ см и $AB : BC : AC = 2 : 3 : 4$.

По условию, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны с некоторым коэффициентом подобия $ k $:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k $

Из записи в условии $ \triangle ABC \stackrel{0,4}{\sim} \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что коэффициент подобия $ k = 0,4 $.

Также нам дано соотношение сторон треугольника $ \triangle ABC $:

$ AB : BC : AC = 2 : 3 : 4 $

Чтобы найти длины сторон, введем коэффициент пропорциональности $ x $. Тогда стороны $ \triangle ABC $ равны:

$ AB = 2x $, $ BC = 3x $, $ AC = 4x $.

Используя коэффициент подобия $ k=0,4 $, выразим сторону $ A_1C_1 $ через $ x $:

$ A_1C_1 = k \cdot AC = 0,4 \cdot (4x) = 1,6x $.

В условии сказано, что сумма длин сторон $ AC $ и $ A_1C_1 $ равна 56 см. Составим и решим уравнение:

$ AC + A_1C_1 = 56 $

$ 4x + 1,6x = 56 $

$ 5,6x = 56 $

$ x = \frac{56}{5,6} = 10 $

Теперь, зная $ x = 10 $, мы можем вычислить длины сторон обоих треугольников.

Стороны треугольника $ \triangle ABC $:

$ AB = 2x = 2 \cdot 10 = 20 $ см

$ BC = 3x = 3 \cdot 10 = 30 $ см

$ AC = 4x = 4 \cdot 10 = 40 $ см

Стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:

Длины сторон этого треугольника равны длинам соответствующих сторон $ \triangle ABC $, умноженным на коэффициент подобия $ k=0,4 $:

$ A_1B_1 = k \cdot AB = 0,4 \cdot 20 = 8 $ см

$ B_1C_1 = k \cdot BC = 0,4 \cdot 30 = 12 $ см

$ A_1C_1 = k \cdot AC = 0,4 \cdot 40 = 16 $ см

Проверим правильность решения: $ AC + A_1C_1 = 40 \text{ см} + 16 \text{ см} = 56 \text{ см} $. Условие выполнено.

Ответ: стороны треугольника $ ABC $ равны 20 см, 30 см, 40 см; стороны треугольника $ A_1B_1C_1 $ равны 8 см, 12 см, 16 см.