Номер 137, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Большее основание $AD$ трапеции равно $26$ см, $MC = 9$ см, $CD = 4$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Большее основание $AD$ трапеции равно $26$ см, $MC = 9$ см, $CD = 4$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, образуя два треугольника: $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$ подобны. Это следует из того, что угол $\angle M$ у них общий, а углы $\angle MCB$ и $\angle MDA$ равны как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $MD$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{MC}{MD} = \frac{MB}{MA} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи известны следующие величины:

$AD = 26$ см (большее основание),
$MC = 9$ см,
$CD = 4$ см.

Точка $M$ лежит на продолжении стороны $CD$, поэтому длина стороны $MD$ большего треугольника равна сумме длин отрезков $MC$ и $CD$:$$ MD = MC + CD = 9 \text{ см} + 4 \text{ см} = 13 \text{ см} $$

Теперь, используя соотношение сторон подобных треугольников, мы можем найти длину меньшего основания $BC$:$$ \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD} $$

Подставим известные значения в формулу:$$ \frac{9}{13} = \frac{BC}{26} $$

Выразим $BC$:$$ BC = \frac{9 \times 26}{13} $$

Выполним вычисления:$$ BC = 9 \times 2 = 18 \text{ см} $$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 18 см.

Ответ: 18 см.