Номер 136, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 104, если известно, что $NK \| FA$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{MK}{MN}$;

2) $\frac{MF}{MN}$.

Рис. 104

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 104, если известно, что $NK \parallel FA$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{MK}{MN}$;

2) $\frac{MF}{MN}$.

Рис. 104

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle MFA$, изображенные на рисунке. По условию задачи дано, что отрезок $NK$ параллелен отрезку $FA$, то есть $NK \parallel FA$.

Докажем подобие этих треугольников.

• Угол $\angle M$ (или $\angle NMK$) является общим для обоих треугольников: $\angle NMK = \angle FMA$.
• Так как $NK \parallel FA$, то углы $\angle MNK$ и $\angle MFA$ являются соответственными при параллельных прямых $NK$ и $FA$ и секущей $MF$. Следовательно, эти углы равны: $\angle MNK = \angle MFA$.

Таким образом, по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам), треугольник $\triangle MNK$ подобен треугольнику $\triangle MFA$. Записывается это как $\triangle MNK \sim \triangle MFA$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответственными сторонами являются те, которые лежат напротив равных углов. Получаем следующую пропорцию:
$\frac{MN}{MF} = \frac{MK}{MA} = \frac{NK}{FA}$

Используя это основное соотношение, запишем требуемые пропорции.

1) Необходимо записать пропорцию, начинающуюся с отношения $\frac{MK}{MN}$.
Воспользуемся равенством двух первых отношений из основной пропорции: $\frac{MN}{MF} = \frac{MK}{MA}$.
Применим свойство пропорции (можно поменять местами средние члены пропорции): $\frac{MN}{MK} = \frac{MF}{MA}$.
Теперь возьмем обратные отношения (перевернем дроби) в обеих частях равенства:
$\frac{MK}{MN} = \frac{MA}{MF}$.
Ответ: $\frac{MK}{MN} = \frac{MA}{MF}$.

2) Необходимо записать пропорцию, начинающуюся с отношения $\frac{MF}{MN}$.
Возьмем основную пропорцию, полученную из подобия треугольников: $\frac{MN}{MF} = \frac{MK}{MA} = \frac{NK}{FA}$.
Чтобы получить отношение $\frac{MF}{MN}$, нужно взять обратные отношения для всех частей этой пропорции (перевернуть каждую дробь):
$\frac{MF}{MN} = \frac{MA}{MK} = \frac{FA}{NK}$.
Ответ: $\frac{MF}{MN} = \frac{MA}{MK} = \frac{FA}{NK}$.